洛伦兹变换

最新推荐文章于 2025-01-28 21:48:36 发布

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本文详细探讨了洛伦兹变换，包括变换矩阵的介绍，通过两个具体例子阐述其应用，并强调了光速在不同参考系中的不变性原理。

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参考：http://tieba.baidu.com/p/558556994

洛伦兹变换

变换矩阵

一个方向的变换矩阵：

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ t' x' y' z' ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ α - α v 00 - v α c 2 α 00 00100001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ t x y z ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟

$\left( \begin{matrix} t' \\ x'\\y'\\z' \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \alpha&-\frac{v\alpha}{c^2}&0&0\\ -\alpha v&\alpha&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} t \\ x\\y\\z \end{matrix} \right)$
其中，

α = 1 1 - v 2 c 2 - - - - - \sqrt

$\alpha=\frac{1}{\sqrt{{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$
把右边的矩阵简化为2阶，并把其中

α $\alpha$ 提出来，

A (v) = α ⎛ ⎝ 1 - v - v c 2 1 ⎞ ⎠

$A(v)=\alpha\left(\begin{matrix}1&-\frac{v}{c^2}\\-v&1\end{matrix}\right)$

例子一

把 $x=0$ 代入,

(t' x') = α ⎛ ⎝ 1 - v - v c 2 1 ⎞ ⎠ (t 0) = α (t - v t) = (α t - α v t)

$\left(\begin{matrix}t'\\x'\end{matrix}\right)=\alpha\left(\begin{matrix}1&-\frac{v}{c^2}\\-v&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\0\end{matrix}\right)=\alpha\left( \begin{matrix}t\\-vt\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}\alpha t\\-\alpha vt\end{matrix}\right)$
这个式子说明，假设A静止(x=0)，0刻度0时刻时，A看到B以速度v相对他运动，那么在A的表t时刻时，他在B眼中的时间和位置分别是

t′=αt $t'=\alpha t$ ，

x′=−αvt $x'=-\alpha vt$ ，注意到，

x ' t ' = - v

$\frac{x'}{t'}=-v$
说明, A看到的B相对于自己的速度，和B看到A相对与自己的速度刚好大小相同，方向相反。
然后一个很自然的式子，

A (v) A (- v) = (1001)

$A(v)A(-v)=\left( \begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix} \right)$
另外，由于

α>1 $\alpha>1$ ，所以如果不考虑光速，从B的角度看A，A在做慢动作。同理，从A的角度看B，B也在做慢动作。

例子二

把 $t=0$ 代入,

(t' x') = α ⎛ ⎝ 1 - v - v c 2 1 ⎞ ⎠ (0 x) = α ⎛ ⎝ - v x c 2 x ⎞ ⎠ = ⎛ ⎝ - α v x c 2 α x ⎞ ⎠

$\left(\begin{matrix}t'\\x'\end{matrix}\right)=\alpha\left(\begin{matrix}1&-\frac{v}{c^2}\\-v&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\x\end{matrix}\right)=\alpha\left( \begin{matrix}-\frac{vx}{c^2}\\x\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}-\frac{\alpha vx}{c^2}\\\alpha x\end{matrix}\right)$
说明，在

t=0 $t=0$ 时刻，如果B以速度v从A旁边经过，那么在B看来，在这一时刻，A参考系中不同点，时间是不同的，如下图所示，
$图片出自http:\/\/tieba.baidu.com\/p\/558556994$
图片出自 http://tieba.baidu.com/p/558556994
另外，由于

α>1 $\alpha>1$ ，所以如果不考虑光速，从B的角度看A，A是变胖了的(x方向拉长)。同理，从A的角度看B，B也变胖的。

光速不变

还是上面的例子，A静止，B速度v，A参考系，0时刻，他们都在0位置，这时一束光从0出发，A参考系，经过时间t，到达 $x=ct$ , 代入到变换矩阵，

(t' x') = α ⎛ ⎝ 1 - v - v c 2 1 ⎞ ⎠ (t c t) = α ⎛ ⎝ t - v t c - v t + c t ⎞ ⎠ = α t ( c - v ) c (1 c)

$\left(\begin{matrix}t'\\x'\end{matrix}\right)=\alpha\left(\begin{matrix}1&-\frac{v}{c^2}\\-v&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\ct \end{matrix}\right)=\alpha\left( \begin{matrix}t-\frac{vt}{c}\\-vt+ct\end{matrix}\right)=\frac{\alpha t(c-v)}{c}\left( \begin{matrix} 1\\c\end{matrix}\right)$
也就是，