连续系统如何离散化

最新推荐文章于 2025-02-22 21:56:53 发布

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本文探讨了将连续控制系统转化为离散控制系统的两种主要方法——欧拉法和塔斯汀法，详细解释了它们的工作原理及如何在MATLAB中实现。通过具体的数学公式和实例，阐述了如何将传递函数转换为差分方程，以便于在数字系统中应用。

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最常见的两种方法就是欧拉法和塔斯汀法(Tustin's method，也叫bilinear transformation)。
欧拉法即为：
$s=\frac{z-1}{T}$
将传递函数中的s用这个替换即可。
这是因为s在拉普拉斯变换里面是微分，而
$\dot{x} \approx (x(k+1)-x(k))/T$
而z变换里面的z运算符即为：
zx(k)=x(k+1)
微分关系即变为：
$\dot{x} \approx (zx(k)-x(k))/T=x(k)(z-1)/T$

但是欧拉法用的是积分的矩形法则，效果有时并不好。所以又提出了根据梯形法则的塔斯汀法：
$s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}$
将C(s)里面的s都替换掉，变成z和C(z)就行了。

可以再matlab里面用c2d函数进行运算:
[numZ denZ]=c2d(num,den,'tustin')%bilinear method
欧拉法在matlab里面貌似已经是不支持了。

再说下z域里怎么写成差分方程。如果我们有控制器：
$C(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{a_{m}z^{m}+a_{m-1}z^{m-1}....+a_{1}z^{1}+b_{0}}{b_{n}z^{n}+b_{n-1}z^{n-1}....+b_{1}z^{1}+b_{0}}$
且n≥m,
将分式转换：
$Y(z)(a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}....+a_{1}z^{1}+a_{0})=U(z)(b_{m}z^{m}+b_{m-1}z^{m-1}....+b_{1}z^{1}+b_{0})$
两边同除以 z^n
$Y(z)(a_{n}+a_{-1}z^{-1}....+a_{1}z^{1-n}+a_{0}z^{-n})=U(z)(b_{m}z^{m-n}+b_{m-1-n}z^{m-1-n}....+b_{1}z^{1-n}+b_{0}z^{-n})$
注意
$z^{-n}x(k)=x(k-n)$
让Y(z)=Y(k),U(z)=U(k)
$a_{n}Y(k)+a_{-1}Y(k-1)....+a_{1}Y(k+1-n)+a_{0}Y(k-n)\\=b_{m}U(k+m-n)+b_{m-1-n}U(k+m-n-1)....+b_{1}U(k+1-n)+b_{0}U(k-n)$
那么就能得到k时刻Y的值了。
$\begin{split}
&Y(k)=\frac{1}{a_{n}}
((-a_{-1}Y(k-1)....-a_{1}Y(k+1-n)-a_{0}Y(k-n)\\
&+b_{m}U(k+m-n)+b_{m-1-n}U(k+m-n-1)....+b_{1}U(k+1-n)+b_{0}U(k-n))\\
\end{split}$

举个例子：
$C(z)=\frac{Y(z)}{u(z)}=\frac{2z-1}{z^2+z+1}$
分式上下均除以z的平方：
$C(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{2z^{-1}-z^{-2}}{1+z^{-1}+z^{-2}}$
进一步整理：
$Y(k)(1+z^{-1}+z^{-2})=U(k)(2z^{-1}-z^{-2})$
再把左边的部分项挪过来：
Y(k)=2U(k-1)-U(k-2)-Y(k-1)-Y(k-2)
这样就知道k时刻控制器的输出是多少了，能在程序里面进行实现了。