PTA与零交换

作者 陈越

单位 浙江大学

将 { 0, 1, 2, ..., N-1 } 的任意一个排列进行排序并不困难，这里加一点难度，要求你只能通过一系列的 Swap(0, *) —— 即将一个数字与 0 交换 —— 的操作，将初始序列增序排列。例如对于初始序列 { 4, 0, 2, 1, 3 }，我们可以通过下列操作完成排序：

• Swap(0, 1) ⟹ { 4, 1, 2, 0, 3 }
• Swap(0, 3) ⟹ { 4, 1, 2, 3, 0 }
• Swap(0, 4) ⟹ { 0, 1, 2, 3, 4 }

本题要求你找出将前 N 个非负整数的给定排列进行增序排序所需要的最少的与 0 交换的次数。

输入格式：

输入在第一行给出正整数 N (≤105)；随后一行给出{ 0, 1, 2, ..., N-1 } 的一个排列。数字间以空格分隔。

输出格式：

在一行中输出将给定序列进行增序排序所需要的最少的与 0 交换的次数。

输入样例：

10
3 5 7 2 6 4 9 0 8 1

输出样例：

9

题目大意：

让数组里的数都和0交换位置，问最少需要多少次？

思路：
将一个完全混乱的数组变成升序最少需要数组的长度-1次。

比如：1 5 4 2 3 0 或者 9 45 8 23 62 57 这两个数组最小数交换位置变成升序都需要5次。

我们可以把相连的数字看成环。

那么看样例：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 5 7 2 6 4 9 0 8 1
!  # !  !  # # # !  *  #

这时候就有发现一个问题，8已经在自己的位置上，那么就不需要换。至此，我们可以把环分成3类。

1、自环，不需要换位置。

2、环中间有0，交换次数为环的长度-1。

3、环中间没0，把0放入环中（交换次数+1），环的长度+1，交换次数为环的长度。

方法：

用dfs查询每个环的长度，在查询时判断环中有没有0。

ll dfs(ll x){//查询环 
	ll sum=0;//环的长度 
	if(vis[x])return sum;//查询到查询过的点返回此时的长度 
	vis[x]=1;//标记此点已经查询过 
	sum+=dfs(v[x])+1;//环的长度+1 
	if(x == 0)f=1;//判断0 
	return sum;//返回长度 
}

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl "\n"

const ll N = 1e5+7;
ll n;
bool f;//判断环中是否有0 
ll v[N];//记录数字 
bool vis[N];//标记是否查询过此点 

ll dfs(ll x){//查询环 
	ll sum=0;//环的长度 
	if(vis[x])return sum;//查询到查询过的点返回此时的长度 
	vis[x]=1;//标记此点已经查询过 
	sum+=dfs(v[x])+1;//环的长度+1 
	if(x == 0)f=1;//判断0 
	return sum;//返回长度 
}

void solve(){
	cin >> n;
	ll sum=0;
	for(ll i = 0 ; i < n ; i ++){
		cin >> v[i];
		if(v[i] == i)vis[i]=1;//把自环判出 
	}
	for(ll i = 0 ; i < n ; i ++){
		if(vis[i])continue;
		f=0;
		ll c=dfs(i);
		if(f)sum+=c-1;
		else sum+=c+1;
	}
	cout << sum << endl;
	return ;
}

int main(){
	ll t=1;//cin >> t;
	while(t--)solve();
	return 0;
}