7-107 与零交换

题目如下：

将 { 0, 1, 2, ..., N-1 } 的任意一个排列进行排序并不困难，这里加一点难度，要求你只能通过一系列的 Swap(0, *) —— 即将一个数字与 0 交换 —— 的操作，将初始序列增序排列。例如对于初始序列 { 4, 0, 2, 1, 3 }，我们可以通过下列操作完成排序：

• Swap(0, 1) ⟹ { 4, 1, 2, 0, 3 }
• Swap(0, 3) ⟹ { 4, 1, 2, 3, 0 }
• Swap(0, 4) ⟹ { 0, 1, 2, 3, 4 }

本题要求你找出将前 N 个非负整数的给定排列进行增序排序所需要的最少的与 0 交换的次数。

输入格式：

输入在第一行给出正整数 N (≤10​5​​)；随后一行给出{ 0, 1, 2, ..., N-1 } 的一个排列。数字间以空格分隔。

输出格式：

在一行中输出将给定序列进行增序排序所需要的最少的与 0 交换的次数。

输入样例：

10
3 5 7 2 6 4 9 0 8 1

输出样例：

9

根据题意以该位置的数值进行交换，时间复杂度为O（n^2），会超时，代码1如下：

#if 1
#include <iostream> 

using namespace std;
const int maxn=100005;
int c_time(int *a,int n,int t)
{
	int cnt=0;
	while(1)
	{
		if(t!=0)
		{
			for(int i=0;i<n;i++)
			{
				if(a[i]==t)
				{
					swap(a[t],a[i]);
					t=i;
					cnt++;
					break;
				}
			}
		}
		else
		{
			int t_num=0,j=0;
			for(int i=0;i<n;i++)
			{
				if(a[i]!=i)
				{
  				    swap(a[t],a[i]);
  				    t=i;
  				    cnt++;
  				    break;
				}
			}
			if(t==0) return cnt;
		}
	}
}
int a[maxn];
int main()
{
	int n,t;	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		if(a[i]==0) t=i;
	}
	cout<<c_time(a,n,t)<<endl;
	return 0;
}
#endif

根据数值下标去交换，时间复杂度为O（n）代码2如下：

#if 1
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int circle(int *a,bool *b,int i)
{
	int t=0,flag=0;
	while(!b[i])
	{
		if(i==0)	flag=1;
		t++;
		b[i]=true;
		i=a[i];
	}
	if(flag)	return t-1;
	else	return t+1;
}
int a[maxn];
bool b[maxn];
int main()
{
	int n;	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		scanf("%d",a+i);
		if(i==a[i])	b[i]=true;
	}
	int sum=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		if(!b[i])	sum+=circle(a,b,i);
	}
	cout<<sum<<endl;
	return 0;
}
#endif

代码1和代码2的思路互为相反。本质上，是有向环，因此，环的开头是谁并不重要，但只能有一个开头，环于环时互不相交的。另外，有向环中包含0时，实际次数为t-1（0在其中，正常交换，环的节点数t减1）；不包含0时，实际次数为t+1（在正常交换的基础上（t-1次），0要进去，也要出来，所以变成(t+1)）。以上。