PTA 最小生成树与拓扑排序

最新推荐文章于 2024-02-08 14:18:21 发布

abyss_miracle

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分类专栏：数据结构基础文章标签：数据结构 c++

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/abyss_miracle/article/details/105525754

本文介绍了最小生成树的概念及其两种主要算法：Prim算法和Kruskal算法，通过实例展示了如何应用这两种算法解决最小生成树问题。同时，还探讨了拓扑排序在关键路径问题中的应用，提供了具体的案例分析和解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

最小生成树
特点：
1.是一棵树。无回路，N个顶点有N-1条边。
2.是生成树。包含全部顶点，N-1条边都在图里。
3.边的权重和最小。

主要包括两种算法，一种是让小树慢慢长大的Prim算法（先定一个顶点为起点，然后每次都找到离这棵树最近的那个顶点，将他归进树内，直到正好用掉顶点数N-1条边）。
二是Kruskal算法，将一个个森林（一开始每个节点都是森林）连成树。每次在图中找所有的边中权重最小的那个边，将其两端的顶点相连（如果产生回路则不收录这条边，并彻底忽略它），直到找满了N-1条边。

Prime模板

/* 邻接矩阵存储 - Prim最小生成树算法 */
 
Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] )
{
   
    /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */
    Vertex MinV, V;
    WeightType MinDist = INFINITY;
 
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
   
   
        if ( dist[V]!=0 && dist[V]<MinDist) {
   
   
            /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */
            MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */
            MinV = V; /* 更新对应顶点 */
        }
    }
    if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */
        return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */
    else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在，返回-1作为标记 */
}
 
int Prim( MGraph Graph, LGraph MST )
{
   
    /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */
    WeightType dist[MaxVertexNum], TotalWeight;
    Vertex parent[MaxVertexNum], V, W;
    int VCount;
    Edge E;
     
    /* 初始化。默认初始点下标是0 */
       for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
   
   
        /* 这里假设若V到W没有直接的边，则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */
           dist[V] = Graph->G[0][V];
           parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */ 
    }
    TotalWeight = 0; /* 初始化权重和     */
    VCount = 0;      /* 初始化收录的顶点数 */
    /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */
    MST = CreateGraph(Graph->Nv);
    E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */
            
    /* 将初始点0收录进MST */
    dist[0] = 0;
    VCount ++;
    parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */
 
    while (1) {
   
   
        V = FindMinDist( Graph, dist );
        /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */
        if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */
            break;   /* 算法结束 */
             
        /* 将V及相应的边<parent[V], V>收录进MST */
        E->V1 = parent[V];
        E->V2 = V;
        E->Weight = dist[V];
        InsertEdge( MST, E );
        TotalWeight += dist[V];
        dist[V] = 0;
        VCount++;
         
        for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */
            if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {
   
   
            /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */
                if ( Graph->G[V][W] < dist[W] ) {
   
   
                /* 若收录V使得dist[W]变小 */
                    dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */
                    parent[W] = V; /* 更新树 */
                }
            }
    } /* while结束*/
    if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */
       TotalWeight = ERROR;
    return TotalWeight;   /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */
}

Kruskal模板

/* 邻接表存储 - Kruskal最小生成树算法 */
 
/*-------------------- 顶点并查集定义 --------------------*/
typedef Vertex ElementType; /* 默认元素可以用非负整数表示 */
typedef Vertex SetName;     /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */
typedef ElementType SetType[MaxVertexNum]; /* 假设集合元素下标从0开始 */
 
void InitializeVSet( SetType S, int N )
{
   
    /* 初始化并查集 */
    ElementType X;
 
    for ( X=0; X<N; X++ ) S[X] = -1;
}
 
void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 )
{
   
    /* 这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点 */
    /* 保证小集合并入大集合 */
    if ( S[Root2] < S[Root1] ) {
   
    /* 如果集合2比较大 */
        S[Root2] += S[Root1];     /* 集合1并入集合2  */
        S[Root1] = Root2;
    }
    else {
   
                            /* 如果集合1比较大 */
        S[Root1