39、计算大型时间（单向）连通分量的方法与分析

计算大型时间（单向）连通分量的方法与分析

1. 研究背景与相关工作介绍

在图论领域，时间连通分量的研究是一个重要的方向，包括严格和非严格模型下的多种定义。我们关注的问题主要有两个：一是检查集合 $X \subseteq V$ 是否为连通集，二是检查集合 $X \subseteq V$ 是否为一个分量（即包含意义上的最大连通集）。其中，$M$ 表示图 $G$ 中时间边的数量，$n$ 表示节点的数量。相关结果如下表所示：
| 检查内容 | 检查 $X \subseteq V$ 是否为连通集 | 检查 $X \subseteq V$ 是否为分量 |
| — | — | — |
| tcc | $\Theta(M^2)$（定理 6） | $O(n^2 \cdot M)$ |
| tucc | - | - |
| 封闭 tcc | NP - c（定理 7） | - |
| 封闭 tucc | - | - |

以往关于时间连通分量的研究中，一些已知的归约方法存在局限性。例如，文献中针对非严格设置的归约未进行参数化，且未解决 $\tau = 2$ 或 3 的情况。而我们给出的归约是参数化的（定理 3 和 4），定理 1 也解决了 $\tau = 2$ 和 3 的情况。此外，还有许多关于时间连通分量的研究，如有的研究给出了严格模型下时间连通分量数量可能呈指数级的例子，有的研究指出计算 tccs 问题是在仿射图中找团问题的一个特例，但不能由此得出该问题是 NP 完全的结论。同时，静态图中关于单向分量也有很多研究成果，并且在社区检测中有应用。虽然图中单向分量的数量可能是指数级的，但判断是否存在大小至少为 $k$ 的单向分量是多项式时间可解的。