25、时态图中的时间线覆盖问题研究

时态图中的时间线覆盖问题研究

1. 问题背景与基本概念

在时态图研究领域，时间线覆盖问题（MinTCover）是一个关键问题。时态图 $G = (V, E, T)$ 由顶点集 $V$、时态边集 $E$ 和时间戳集 $T$ 组成。为了更好地理解这个问题，我们先来看一个简单的例子，假设有一个时态图 $G$，包含四个顶点 $(v1, v2, v3, v4)$ 和三个时间戳 $(1, 2, 3)$，每个时间戳下都有相应的时态边，顶点的活动区间用灰色表示，整体跨度为 3。

对于 MinTCover 问题，有一个重要的引理：可以在多项式时间内计算是否存在跨度等于 0 的解。同时，我们可以为时态图 $G$ 关联一个标记的静态图，称为并图 $GU = (V, EU, λ)$，其中 $EU = { {u, v} : {u, v, t} \in E, \text{ 对于某些 } t \in T}$，$λ \subseteq (EU × T)$ 是对 $EU$ 中边的标记，$λ({u, v}) = {t : {u, v, t} \in E, \text{ 对于某些 } t \in T}$。

另外，还存在一个 MinTCover 的变体，即 1 - MinTCover，它要求每个时间戳中最多只有一条活跃的时态边。

2. 时态图预处理

对时态图及其对应的并图进行预处理，可以去除一些容易覆盖的部分，预处理分为两个阶段：
- 第一阶段 ：当存在全局度为 1 的顶点 $u$ 时，从图 $G$（和并图 $GU$）中移除 $u$ 以及与 $u$ 关联的单条时态边 ${u, v, t}$，并定义 $u$ 在时