19、在线带移除和回溯的背包问题与最小外科探测问题研究

在线带移除和回溯的背包问题与最小外科探测问题研究

在线带移除和回溯的背包问题

在在线背包问题中，物品依次到来，算法需要在不知道后续物品的情况下做出决策，而移除和回溯机制则为算法提供了一定的灵活性。

1. 竞争比上界

• k = 1 时的情况 ：
  • 算法 Alg1 最多使用一次回溯，能达到 3/2 的竞争比。首先设定 (b = \frac{2}{3})，将物品按大小分为小、中、大三类。
  • Alg1 的具体操作如下：
  • 遇到大物品时，立即将其放入背包，必要时移除背包内的一些物品，并从此时起丢弃其他物品。
  • 遇到小物品时，立即放入背包。若小物品放不下或者为了放入中等物品需要丢弃小物品，则从此时起丢弃其他物品。
  • 始终保留最大的中等物品。若遇到一个中等物品 (x_i) 能和之前遇到的中等物品 (x_j) 一起放入背包，则移除当前已放入的物品，使用回溯找回 (x_j)，并从此时起丢弃其他物品。
  • 定理 2 表明，算法 Alg1 的竞争比至多为 3/2。证明过程如下：Alg1 要么是最优的，要么收益至少为 (\frac{2}{3})，从而竞争比至多为 3/2。若实例中有大物品，算法会将其放入，收益至少为 (\frac{2}{3})；若算法因大小限制丢弃小物品，此时收益至少为 (1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3})；若实例中没有大物品且算法从不丢弃小物品，考虑最优解中中等物品的数量，若为 2 个，算法能放入两个中等物品，收益至少为 (\frac{1}{3} +