18、热带卷积与在线背包问题的多面体视角与资源回溯分析

热带卷积与在线背包问题的多面体视角与资源回溯分析

热带卷积的多面体视角

在热带卷积的研究中，有一个重要的定理：关于集合 $S_n$ 相对于松弛泛函 $\lambda_{k,\ell}$ 的松弛矩阵 $\Lambda_n$，有 $rc(\Lambda_n) \leq O(n)$。其证明运用了固定大小集合上不相交关系的常见界，以及 $(n, 2)$ - Kneser 图具有线性规模的团覆盖这一事实。

目前虽然建立了细粒度复杂度与多面体几何之间的新联系，但也产生了许多有待解决的问题。其中最关键的问题是对 $M_n$ 和 $S_n$ 的面和顶点进行组合描述，并利用该描述为 $xc(M_n)$ 给出下界或更好的上界。对于 $xc(M_n)$ 是否确实有 $\Omega(n^2)$ 的下界，目前尚无定论。仅有的关于 $xc(M_n)$ 的数据是相关多面体 $S_n$ 的某个松弛矩阵的矩形覆盖数的线性上界，这似乎指向相反的方向。然而，热带卷积计算复杂度的二次下界是一个广泛被认可的猜想，这也增加了该下界在多面体模型中成立的可信度。

此外，除了扩展复杂度，还出现了关于在 $M_n$ 上进行优化的复杂度的各种问题。例如，研究 $M_n$ 的径向锥的扩展复杂度以及 $M_n$ 的回路结构可能会很有趣，因为这些量与在 $M_n$ 上进行优化的复杂度直接相关。

在线背包问题的引入

经典的背包问题是给定一个容量为 $B$ 的背包和一组物品，每个物品有大小和价值，目标是在不超过背包容量的前提下，选择一个物品子集，使它们的总价值最大。在比例变体（也称为无权重或简单背包问题）中，每个物品的大小和价值相等。作为一个在线问题，背包容量 $B$ 预先给定，但物品会逐个以请求序