15、图搜索算法的性能分析与优化

图搜索算法的性能分析与优化

1. 有向无环图上的小偷定向问题近似算法

1.1 小偷定向问题在有向无环图上的 PTAS

存在针对有向无环图（DAG）上小偷定向问题的多项式时间近似方案（PTAS）。算法 3 计算的解的利润至少为 $(1 - 3\epsilon)OPT$。利润表 $A$ 有 $|I|$ 个条目，每个条目 $A[j]$ 最多有 $O(PrWr)$ 个五元组，其中 $Pr$ 是任何物品子集的舍入利润的不同值的数量，$Wr$ 是总重量至多为 $W$ 的任何物品子集的舍入重量的不同值的数量。

由于利润向下舍入到最接近的 $\frac{\epsilon P_{max}}{|I|}$ 的倍数，所以 $Pr$ 为 $O(\frac{|I|^2}{\epsilon})$。由于未在所选可行子集 $S$ 中的物品的重量向上舍入到最接近的 $\frac{\epsilon W’}{|I|^2}$ 的倍数，所以 $Wr$ 为 $O(\frac{|I|^2}{\epsilon})$。

算法 3 的运行时间分析如下：
- 若 $i_j$ 不是顶点 $u$ 中的最后一个物品，算法会恰好遍历条目 $A[j]$ 处的列表一次。
- 若 $i_j$ 是顶点 $u$ 中的最后一个物品，算法会针对 $u$ 的每条出边遍历条目 $A[j]$ 处的列表一次。

对于每个最多包含 $K$ 个物品的可行子集 $S$，算法会遍历利润表中的 $|I|$ 行，对特定行的迭代次数最多为 $n = |V|$ 次，且每行最多有 $O(\frac{|I|^4}{\epsilon^2})$ 个五元组。由于可行子集 $S$ 的数量为 $O(|I|^{\frac{1}{\ep