13、偏心率最短路径问题与小偷定向问题的算法研究

偏心率最短路径问题与小偷定向问题的算法研究

偏心率最短路径问题相关算法

在偏心率最短路径问题的研究中，我们主要聚焦于几个关键的算法和问题转化。

首先是扩展骨架测试（Ext - Skeleton Testing）和彩色路径覆盖（Colorful Path - Cover）问题的关联。对于不在集合 $S$ 中的顶点所构成的图 $F$，我们发现解决扩展骨架测试问题可以转化为解决彩色路径覆盖问题。具体来说，给定实例 $(G, S, k, \ell, ES)$ 是扩展骨架测试的一个肯定实例，当且仅当 $(F, B, \ell, F)$ 是彩色路径覆盖的一个肯定实例，这由引理 5 正式表明。

为了解决彩色路径覆盖问题，我们设计了一个基于动态规划的算法。由于树的数量最多为 $2k + 2$，可行路径族的数量为 $|F| = t$，我们首先在 $O(kt)$ 时间内猜测来自 $F$ 中每棵树的可行路径族的子集。然后，我们就可以针对每棵树及其对应的可行路径族进行处理。引理 6 指出，当 $F$ 是一个包含 $O(k)$ 棵树的森林时，彩色路径覆盖问题可以在 $O(\ell^2 \cdot 2^{O(k \log k)}n^{O(1)})$ 时间内解决。

下面详细介绍彩色路径覆盖问题的算法概述：
- 问题定义 ：给定一个彩色路径覆盖问题的实例 $(T, B, \ell, F = {F_1, F_2, \ldots, F_t})$，其中 $T$ 是一棵树，$B \subseteq V(T)$，$\ell \in N$，$F$ 是一组不相交的可行路径。目标是找到一个包含 $t$ 条路径的集合 $P$，使得对于每个 $F_i$，$|P \