5、相似多边形点包含问题与平衡移动问题的复杂性研究

相似多边形点包含问题与平衡移动问题的复杂性研究

在计算几何领域，相似多边形的点包含问题以及平衡移动问题是两个重要的研究方向。下面我们将详细探讨这两个问题的相关内容。

相似多边形点包含问题

在研究相似多边形点包含问题时，我们考虑了如何找到包含查询点的所有相似三角形，并给出了静态和动态设置下的解决方案。

对于静态情况，我们给出了一种接近线性空间的解决方案，并且具有最优的查询时间。当顶点数量 (m) 作为一个参数时，预处理所有 (m - 2) 个实例将需要 (O(mn \log n)) 的空间和时间，因此总的预处理时间和空间为 (O(mn \log n))。查询时间为 (O(m \log n + k))，其中 (k) 是包含查询点的多边形的数量。这表明对于具有 (m = O(1)) 大小描述复杂度的相似多边形，相关的边界条件仍然成立。

然而，由于任意相似多边形中的点可以具有任意坐标，乍一看，在秩空间（以及字 - RAM 模型）中进行操作似乎很困难。因此，我们将在字 - RAM 模型中改进结果的问题留作一个开放问题。

平衡移动问题

在系统发育学中，测量树的差异和研究树的形状是重要的任务。其中，树的不平衡性是一个被广泛研究的形状属性，可以通过不同的指标来量化，例如 Colless 指数。我们在此研究了 Colless 指数在移动体（即每个叶子都被分配了正整数权重的满二叉树）上的推广，特别是平衡移动问题。

问题定义

平衡移动问题的输入是 (n) 个权重和一棵具有 (n) 个叶子的满二叉树，任务是将这些权重分配给叶子，使得内部节点的不平衡性之和（即 Colless 指数）最小。这里，内部