3、图稀疏化与点包含问题研究

图稀疏化与点包含问题研究

1. 多优先级图稀疏化

在大型网络可视化中，不同顶点可能具有不同的优先级，这就自然引出了 k - 优先级稀疏化问题。下面我们将详细介绍多优先级图稀疏化相关的算法和结论。

1.1 加法扳手（Additive Spanners）

对于加法扳手，存在一些算法可分别计算不同加法拉伸（additive stretch）下的子集扳手：
| 加法拉伸 | 子集扳手大小 |
| ---- | ---- |
| 2 | (O(n|T|^{\frac{2}{3}})) |
| 4 | (\tilde{O}(n|T|^{\frac{4}{7}})) |
| 6 | (O(n|T|^{\frac{1}{2}})) |

还有算法可计算近加法子集 ((1 + \varepsilon, 4)) - 扳手，其大小为 (O(n\sqrt{\frac{|T|\log n}{\varepsilon}}))。

若将这些算法作为子例程用于计算不同优先级的子集扳手，可得到以下推论：
- 推论 3 ：给定无向加权图 (G)，存在多项式时间算法分别计算加法拉伸为 2、4 和 6 的多优先级图扳手，其大小分别为 (O(n|T|^{\frac{2}{3}}))、(\tilde{O}(n|T|^{\frac{4}{7}})) 和 (O(n|T|^{\frac{1}{2}}))。
- 推论 4 ：给定无向无权图 (G)，存在多项式时间算法计算大小为 (O(n\sqrt{\frac{|T|\log n}{\varepsilo