16、数据可视化中的变换、映射与降维方法

数据可视化中的变换、映射与降维方法

1. 流场可视化基础

在流场可视化工作中，大量研究致力于识别流场中的奇点（即流速为零的点），并刻画这些点周围的旋转和压缩/膨胀情况。一般来说，存在一套计算雅可比矩阵不变量的数学体系。其中，有两个不变量尤为重要：
- 雅可比矩阵的迹 ：$Tr(J) = J_{11} + J_{22}$，它也是特征值之和。
- 范数 ：$Tr(J J^T) = \sum_{k,l} J_{kl}^2$，是特征值平方大小的总和。
- 雅可比矩阵的行列式 ：它是特征值的乘积，对理解流场结构也很关键。

在位移场中，我们通常关注逐点的总形变量，这可以通过对称雅可比矩阵来体现：
$\varepsilon = \frac{1}{2}(J + J^T)$
对称雅可比矩阵的范数会产生标量，用于总结这种形变。

在流场方面，向量场的涡度表示每个点的旋转速率。在二维情况下，涡度的计算公式为：
$\omega_z = \frac{\partial v_x}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial x}$
涡度通常被视为垂直于平面的向量，方向取决于符号。在三维情况下，涡度表示为速度的旋度：
$\omega = \nabla \times v$
向量沿着旋转轴方向（根据右手定则确定）。在二维和三维情况下，涡度计算分别会得到另一个标量或向量场。通过结合标量不变量（如大小或加速度大小）与极值分析或等值面，可以得到子集，从而实现流场中涡旋结构的可视化。