11、数字滤波器设计与实现：从理论到实践

数字滤波器设计与实现：从理论到实践

1. 模拟滤波器设计回顾

常见的模拟滤波器有三种标准类型，分别是巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）和椭圆（Elliptic）滤波器。下图展示了这些模拟滤波器在阶数为 8 且截止频率为 1 Hz 时的典型频率响应，方便进行对比。
| 滤波器类型 | 特点 |
| — | — |
| 巴特沃斯滤波器 | 增益 - 频率响应随频率增加单调下降 |
| 切比雪夫滤波器 | 阻带衰减高，但通带有波纹 |
| 椭圆滤波器 | 以最低阶数提供最大衰减，通带和阻带都有波纹 |

2. 巴特沃斯滤波器

2.1 增益 - 频率响应

巴特沃斯滤波器的增益 - 频率响应公式如下：
[
H(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{\omega}{\omega_c})^{2N}}}
]
其中，$N$ 是滤波器阶数，$\omega_c$ 是截止频率。随着频率增加，滤波器响应单调下降。在截止频率 $\omega = \omega_c$ 处，幅度变为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$；在阻带，即截止频率一个十倍频程之后，幅度进一步下降。每增加一阶滤波器，阻带增益每十倍频程下降 -20 dB。

2.2 滤波器阶数确定

对于给定的规格，可以通过以下公式确定滤波器阶数：
[
N \geq \frac{\log(\frac{10^{\frac{K_s}{10}} - 1}{10^{\frac{K_p}{10}} - 1})}{2\log(B)