15、函数变换、映射与数据总结

函数变换、映射与数据总结

在处理二维、三维及高维函数数据时，我们往往更关注数据的特定属性，而非整个数据集。这通常需要对数据进行某种变换，以提取相关特征。下面将详细介绍不同维度函数的变换方法、特征提取等内容。

1. 函数变换概述

在科学可视化领域，函数常被称为场。我们主要关注函数变换的数学原理，而非具体的快速或高效渲染算法。对于从 $\mathbb{R}^m$ 到 $\mathbb{R}^k$ 的映射（假设 $k$ 相对较小），除非另有说明，我们将这些对象视为连续映射，并假设离散表示经过适当插值，使其在连续域上有定义。

1.1 低维函数示例

• $m = k = 1$ ：可以直接绘制函数图像来观察其结构。
• $m = 2$ 且 $k = 1$ ：可以使用二维视平面上的像素为点分配颜色值，将函数视为图像，用 $f(x, y)$ 表示每个二维点的值。也可以将此类数据在三维空间中绘制成高度场，并将结果表面投影到二维屏幕上。

1.2 二维标量数据变换

为了更好地可视化或解释二维标量数据，常见的策略是使用函数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 对值域进行变换，得到新图像 $f’(x, y) = g(f(x, y))$。$g(\cdot)$ 也可以是 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$，用于将函数中的标量值进行颜色映射。理解这些变换需要研究 $g(\cdot)$ 的结构，常见的映射会使图像变亮或变暗，或者改变函数的整体值域。为了增强图像对比度，通常可