12、可视化中的数学基础

可视化中的数学基础

1. 数据与基本术语

数据是所有可视化任务和可视化流程中每个步骤的核心。可视化流程的输入，即原始数据，可以是任何形式的信息集合。我们将数据集定义为一个三元组 $D = (S, A, f)$，它由一组结构化项 $S$、一组属性 $A$ 以及一个将属性分配给项的函数 $f$ 组成。

1.1 结构 $S$

结构 $S$ 可以从离散点到连续域不等。一般来说，$S$ 由一组项和项之间的某种关系组成。以下是两种最常用的结构：
- 图、网络和树 ：图或网络常用于非空间、关系型数据表示。数学上，图 $G$ 是一个对 $(V, E)$，其中 $V$ 是一组项（称为顶点或节点），$E$ 是这些项之间的关系集合（表示为边的集合，$E \subseteq V \times V$）。边可以是有向的或无向的。如果边被赋予一个数值属性，则该图是加权的。有限图的一种可能表示是邻接矩阵，它是一个大小为 $|V| \times |V|$ 的方阵。
- 连续域 ：连续域 $D$ 是 $R^n$ 的一个子集，并配备了一个度量。常见的度量是欧几里得距离，其他度量包括曼哈顿距离和极距离。连续域可以由一组有限的离散样本与插值方案相关联来表示。

1.2 属性空间 $A$

属性是分配给数据项的特定属性，它来自测量、观察或计算。属性可以是连续的和定量的（如温度）、离散的和有序的（如班级中的人数）以及分类的（如各种树种）。可能的属性集合构成了属性空间。

最常见的连续定量属性可以归纳为张量。$r$ 阶张量定义为一个多线性映射，它作用于 $n$ 维向量空间