脉冲神经元的建模与分析

一. 生物神经元结构及脉冲发放

生物神经系统中的信号是以细胞膜的电位变化来传导的。神经元细胞膜内外的电位有差别，外正内负，70-80mv。周围环境和内部变化可以引起膜电位的高低变化。但是这类变化当幅度不大时只是局部的，随着变化幅度的增加，达到一定阈值时，膜电位才会发生突然的变化，产生沿轴突传导的动作电位，也称为脉冲。这种神经元传递的脉冲持续时间为1-2ms，它可以跨越较远的距离进行传递而不致衰减。电位变化的幅度和传导速度都因神经轴突纤维的种类不同而不同。但对一种纤维来说，动作电位和传到速度是一定的，在全范围内，动作电位的产生与否取决于刺激强度是否大于阈值，这种现象称为“全或无”（all or none）定律。

如上图所示，神经元未受刺激时，细胞膜内外两侧存在电位差，称为静息电位（resting potential），一般在-80~-40mv。当神经元受到外界刺激时，突触后电位的总和超过某一阈值时，神经元产生一个不衰减的“全或无”式的沿神经纤维的神经活动，即动作电位或脉冲。动作电位的动态变化过程包括一个迅速的去极化正向电位变化和缓慢的复极化负向电位变化。动作电位的另一特征是电位的极性在峰电位顶端倒转，细胞内由静息时的负电位变为正电位，这一过程叫做超射。神经元动作电位的产生会导致局部的兴奋性发生一系列的变化。大致在动作电位的复极化阶段（repolarization phase），无论用任何强的刺激都不能再引起动作电位，这个阶段称为绝对不应期（absolute refraction period）；在随后的短时间内，动作电位进入超极化阶段（hyperpolarization phase），用比原来强的刺激方能引起动作电位，而且反应幅度还会小一些，这个阶段称为相对不应期（relative refraction period），神经元对信号的传递方式在很大程度上与神经元的电学特性有关。

生物神经系统在内外刺激作用下，使得神经元按照一定时间间隔产生一系列的动作电位，称为脉冲序列（spike train）。神经元发放的单个动作电位或者脉冲是信号传递的基本单元，因为所有脉冲的波形都是相似的，所以动作电位的形状不会携带任何信息，而传递有用神经信息的是脉冲的发放时间和频率。一个神经元就是一个整合器，随时都在接受成百上千的信息，随时都在对外接受的信息进行加工，使相同的信息加在一起，相反的信息互相抵消，然后决定是兴奋还是保持抑制，这就是神经元的整合（integration）作用。如下图，一个生物神经元通过其大量的树突接受其他突触前神经元发放的各不相同的脉冲序列作为输入，通过突触的作用和神经元胞体的信息整合，神经元发放一定时间间隔的脉冲序列，又通过轴突成为其他神经元的输入。

从突触前神经元传入的脉冲信号引起突触后神经元膜电位发生的变化成为突触后电位（postsynaptic potential），具有局部电位的性质。一个神经元通常有许多突触，其中有些是兴奋性的，有些是抑制性的。对于从突触前神经元传来的多个脉冲，由于突触类型的不同，突触后电位可分为兴奋性和抑制性两类。兴奋性突触使得突触后神经元的膜去极化，产生正的突触后电位，成为兴奋性突触后电位（excitatory postsynaptic potential，EPSP）。EPSP在传入脉冲到达突触后神经元0.3-0.5ms之后产生，它有一个较快的上升过程和缓慢的指数衰减过程，电位总共持续10-20ms。抑制性突触使突触后神经元的膜超极化，产生负的突触后电位，称为抑制性突触后电位（inhibitory postsynaptic potential，IPSP），IPSP到达峰值时间和EPSP相似。

如果突触前神经元快速发放一系列动作电位，而突触后电位的消退需要一定时间，则相继产生的突触后电位会随时间产生累计效应。而一个神经元接受其他很多突触前神经元同时传来的脉冲所产生的突触后电位的总体效应称为空间累加。时间累加和空间累加都会对突触后电位产生影响。生物神经元的动态特性是非常复杂的，从神经元传递信息的功能和特点归纳出以下几点：

1. 突触后电位有兴奋性和抑制性两种类型；
2. 突触在传递信息的过程中有一定的延迟时间；
3. 神经元信息的整合有时间累加和空间累加；
4. 具有数/模互相转换功能，类似数字信号的突触前神经元动作电位，通过突触传递过程，转换成类似于模拟信号的突触后神经元的突触后电位，而突触后神经元对这些模拟信号进行快速整合，一旦超过阈值就形成发放，动作电位还是数字的；
5. 神经元脉冲的发放存在不应期；
6. 突触传递信息的强度随时间是可变的，包括突触传递增强和突触传递减弱，突触可塑性是学习和记忆的基础。

二. 脉冲神经元的建模方法

1. 神经元的房室建模方法

当前对神经元数值模拟的研究主要是从细胞膜属性和几何形态这两个方面进行，其理论基础是Hodgkin-Huxley的神经元模型和Rall的神经元被动电缆理论（passive cable theory），被动电缆的空间拓扑结构可以采用典型的房室建模方法（compartmental modeling approach）进行离散描述。房室模型是利用有限差分法将空间上连续的单个神经元分割成很短的区域，并假设其在区域内是等电位的。每个离散的区域电位被视为一个单独的房室，房室之间相互连接后整体描述神经元的时空变化。

神经元的房室模型可用下图所示的等效电路来模拟，其中$V_k$表示第k个房室的膜电位，此房室可以用来表示细胞体、树突或轴突，$V_{k-1}和V_{k+1}$分别表示相邻两个房室的膜电位；$R_k$表示第k个房室与第k-1个房室的轴电阻，$R_{k+1}$表示第k个房室与第k+1个房室的轴电阻。

根据神经元房室的等效电路，单个房室的膜电位变化可表示为：
$C_m\frac{d{V}_k}{dt}=-g_L(V_k-E_L)-{\sum }_c[\overline{g_c}(V_k-E_c)]+\frac{V_{k-1}-V_k}{R_k}+\frac{V_{k+1}-V_k}{R_{k+1}}+I$
其总共包含4类电流，即神经元的漏电流$I_L=g_L(V_k-E_L)$，房室上所有的钠离子通道、钾离子通道等门控电流之和$I_c={\sum }_c[\overline{g_c}(V_k-E_c)]$，相邻房室的外向整合延迟电流$I_k=\frac{V_{k-1}-V_k}{R_k}+\frac{V_{k+1}-V_k}{R_{k+1}}$，I表示外部注入电流。

2. 脉冲神经元的建模层次

对于脉冲神经元模型的建立，从平衡神经元的功能特性和计算效率的角度出发，将脉冲神经元的数学建模分为三个层次，包括详细房室模型（detailed compartmental model）、缩减房室模型（reduced compartmental model）和单房室模型（single compartmental model）。

2.1 详细房室模型

真实的神经元具有在形态和生理两方面都极为复杂的树突树和轴突及其分支，脉冲神经元的详细房室模型依据树突和轴突的空间几何形状特征进行建模。根据Rall的被动电缆理论和房室建模方法，可建立定量研究树突整合功能的理论框架。数学上房室模型是对非线性的电缆方程的某种有限差分逼近，一般用常微分方程来取代连续电缆方程。对于每一时间间隔，运用数值方法来求解由这些方程构成的高维系统。

2.2 缩减房室模型

尽管详细房室模型很好地近似了神经元的空间几何形态，并表现了丰富的动力学特性，但其存在以下缺点：①这种高维模型很难从数学分析的角度研究神经元的突现特征；②由于其计算的复杂性，很难进行大规模网络的模拟研究。

缩减房室模型在神经元的功能特性和计算效率之间进行了折衷，仅用一个或几个房室来表达神经脉冲在树突与胞体之间的交互。

2.3 单房室模型

单房室模型忽略了神经元的形态特征，将神经元抽象成一个点，仅考虑各种离子电流对神经元阈下行为和脉冲生成的影响。最为典型的单房室脉冲神经元模型就是描述神经元膜电位和离子电导变化关系的 Hodgkin-Huxley模型。

三. 单房室脉冲神经元模型

基于对生物神经元不同的认知和计算功能的需要，在过去的几十年涌现了很多单房室脉冲神经元的计算模型，根据神经元的构造方法的差异将这些模型分为四类：
①生物可解释性的生理模型；②脉冲生成机制的非线性模型；③固定阈值的脉冲发放模型；④分段线性化的解析模型。

1. 生物可解释性的生理模型

生物神经元的离子是传递电信号的重要媒介，电信号的产生是由于细胞膜两侧的离子发生流动而形成了浓度差，从而导致了细胞膜内外电位差的变化。

1.1 Hodgkin-Huxley神经元模型

Hodgkin等人通过大量实验和分析，确认神经轴突膜上有两种主要的离子通道——钠离子通道和钾离子通道，这两个离子通道的电导不是恒定的，它们强烈依赖于膜电位。这时由于两通道中存在着几个由膜中有机分子所控制的门，门打开或关闭的概率与膜电位有关。此外，膜中还有次要的其他离子的通道，形成漏电流。等效电路如下图：

细胞膜上流过的电流主要取决于离子通道的阻抗以及细胞膜上的电容，总的离子电流主要由$N{a}^{+}、K^{+}和C{l}^{+}$组成。$I_{<}$