hdu 4370 0 or 1(最短路+最小花费环)

最新推荐文章于 2021-03-02 16:40:38 发布

h2952220

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分类专栏：图论文章标签： path 算法编程 c

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/h2952220/article/details/7877013

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本文解析了一道经典的0/1规划问题，通过图论的方法将其转化为求最短路径及最小花费环的问题，并给出了详细的解题思路与Dijkstra算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一道非常巧妙的题目，引用别人博客的话就是“将完全没有思路的一道题目一下子编程了简单的最短路”

当然，最短路还不是问题的全解，后来众牛发现除了最短路还有一个最小花费环的情况。

贴一下官方的题解：（http://page.renren.com/601081183/note/866168965）

//////

1001 (已更新)

显然，题目给的是一个0/1规划模型。

解题的关键在于如何看出这个模型的本质。

3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：

1.X12+X13+...X1n=1 于是1号节点的出度为1

2..X1n+X2n+...Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1

3.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度

于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。

以上情况设为A

非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，简单路径只是充分条件，但不必要。（对造成困扰的队伍深表歉意）

漏了如下的情况B：

从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。

容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。

由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。

因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）

故最终答案为min(path,c1+c2)

////////

官方的标程是dijkstra+head(优先队列)

本来想改一下官方的标程算了，毕竟最短路不难。后来发现优先队列的最短路貌似和想象有点不同....

于是就有了普通版的dijkstra= =（+最小花费环）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using std::min;
const int maxx = 310;
int edge[maxx][maxx];
int dist[maxx];
int s[maxx];
const int INF = 33686018;
int n;
int dijkstra(int u0,int& cir)
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        dist[i] = edge[u0][i];
        s[i] = 0;
    }
    dist[u0] = 0;
    s[u0] = 1;
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        int minn = INF;
        int u = u0;
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            if(!s[j] && dist[j]<minn)
            {
                minn = dist[j];
                u = j;
            }
        }
        s[u] = 1;
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            if(!s[j] && edge[u][j]<INF && dist[u] + edge[u][j] < dist[j])
                dist[j] = dist[u] + edge[u][j];
            if(j==u0 && u!=u0)
                cir = min(cir,dist[u] + edge[u][j]);
        }
    }
    return dist[n];
}
int main()
{
//    freopen("1001.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++)
                scanf("%d",&edge[i][j]);
        int cir_u0,cir_n,cir;
        cir_u0 = cir_n = cir = INF;
        int dis = dijkstra(1,cir_u0);
        dijkstra(n,cir_n);
        cir = cir_u0 + cir_n;
        printf("%d\n",min(dis,cir));
    }
}