30、稠密图动态规划的优质分解探索

稠密图动态规划的优质分解探索

1. 引言

在图论中，许多NP - 难的图问题在限制于有界树宽（tree - width）或有界团宽（clique - width）的图时，可在多项式时间内求解。这些算法通常分为两个阶段：第一阶段是找到输入图的宽度为k的分解；第二阶段是沿着分解进行动态规划。动态规划的时间复杂度通常与k呈指数关系。

例如，给定树宽为k的分解，求解最大权重独立集问题的时间复杂度为$O(n^{2k})$，求解最小权重支配集问题的时间复杂度为$O(n^{3k}k^{2})$。因此，找到宽度较小的分解的快速算法至关重要。

对于团宽，除了通过秩宽（rank - width）实现的2OPT近似算法外，目前还没有已知的有效算法。对于树宽，虽然存在一个$O(f(n)2^{O(k^{3})})$的算法来寻找树宽为k的分解，但该算法不实用。不过，在实际场景中，人们已经做了很多关于寻找低树宽分解的工作。

树宽库（TreewidthLIB）网站的建立，为使用树宽和分支宽（branch - width）解决图问题的实验研究提供了基准。这些问题涵盖了计算生物学、约束满足和概率网络等领域。然而，树宽和分支宽不适用于非稀疏图，因为树宽或分支宽为k的分解意味着图有$O(k^{2}n)$条边。团宽在稠密图中可能较低，但到目前为止，还没有针对团宽或类似概念的实验研究。

布尔宽度（Boolean - width）是最近引入的一个图参数。它由一个分解树定义，该分解树最小化图的各个割上不同邻域并集的数量。对于许多NP - 难问题，如独立集、支配集等问题，给定布尔宽度为k的分解，可通过动态规划高效求解。例如，求解最大权重独立集问题的时间复杂度为$O(n^{2}k^{2}2^