11、平面不相交路径补全问题研究

平面不相交路径补全问题研究

在图论与算法领域，许多经典问题的研究为解决实际问题提供了强大的工具。其中，不相交路径问题（Disjoint Paths Problem，DP）一直是研究的热点。本文将聚焦于平面不相交路径补全问题（Planar Disjoint Paths Completion，PDPC），深入探讨其定义、复杂度以及解决方法。

1. 问题引入

想象我们有一个包含 (n) 个城市的平面道路网络，并且给定了 (k) 对城市。网络中有一片空旷区域，我们的目标是在这个区域添加最少数量的城际道路，使得扩展后的网络仍然保持平面性，并且这 (k) 对城市之间能够通过 (k) 条内部不相交的道路连接起来。从图论的角度来看，这就是要对一个平面图进行最小规模的边补全，让原本不可行的不相交路径问题实例变得可行，同时不破坏图的平面性。

2. 相关问题定义

• 不相交路径问题（DP）
  • 输入 ：一个无向图 (G) 以及 (k) 对终端 (s_1, t_1, \ldots, s_k, t_k \in V(G))。
  • 问题 ：在图 (G) 中是否存在 (k) 条两两内部顶点不相交的路径 (Q_1, \ldots, Q_k)，使得路径 (Q_i) 连接 (s_i) 到 (t_i)。这里的两两内部顶点不相交是指两条路径只能在同时为终端的顶点处相交。
  • 复杂度 ：即使在平面图上，DP 问题也是 NP 完全的。但当以 (k) 为参数时，该问题属