12、蒙哥马利乘法及RNS蒙哥马利乘法算法详解

蒙哥马利乘法及RNS蒙哥马利乘法算法详解

1. 蒙哥马利乘法概述

蒙哥马利乘法（MMM）在模乘运算（MM）中极为有用且有趣，至今它在提升效率方面表现卓越。在计算蒙哥马利乘法时，我们需要计算蒙哥马利积。

蒙哥马利积的计算如下：
需要计算 (X\cdot Y(\bmod m))，其中 (X, Y < m)。我们有蒙哥马利约化元素 (p)，满足 (GCD(m, p) = 1)，则蒙哥马利积可以表示为：
(MonProd(X, Y) = X × Y × p^{-1}(\bmod m))

若 (p) 选为 2 的幂次会更优，因为这样能通过简单的移位和加法操作高效执行，从而提高数学运算（如除法和乘法）的速度。

蒙哥马利乘法的执行方式可分为两大类：
- 乘法和约化分开进行。
- 约化和乘法集成进行。

集成程度取决于约化和乘法之间的切换，切换次数可多可少。此外，扫描操作数和乘积也是一个重要因素，具体有以下几种扫描方式：
1. 独立操作数扫描
2. 少切换操作数扫描
3. 高切换操作数扫描
4. 高切换乘积扫描
5. 少切换混合扫描

蒙哥马利积进一步用于蒙哥马利乘法，在密码系统的各种应用中发挥作用。当选择 (p = 2^k)，使得 (m) 为 (k) 位整数（即 (2^{k - 1} \leq m < 2^k)），且 (p) 和 (m) 互质时，从相关算法步骤可得：
(R’ = (X’Y’)p^{-1}(\bmod m))
(T p^{-1} = (T + T (-m)^{-1}(\bmod p) m)/p(\bmod