13、蒙哥马利乘法算法及硬件实现解析

蒙哥马利乘法算法及硬件实现解析

1. RNS蒙哥马利乘法算法

RNS（剩余数系统）蒙哥马利乘法是一种重要的乘法算法。在该算法中，其计算与基数、权重相关。具体而言，RNS蒙哥马利乘法是基数与对应位置权重的乘积，再加上前一个权重与新基数的乘积（参考相关公式）。

图6.7展示的算法7简化了 $q_i$ 的计算难题。它通过使用基数 $a_i$，将 $q_i$ 在MRS（混合基数系统）中表示为 $q’_i$。其中，余数 $y_i$ 代表操作数 $Y$ 的最低有效位。

从公式可知，存在一个余数基 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，其中 $A = \prod_{i = 1}^{n} a_i$，且 $\gcd(\mu, A) = 1$。算法7的输出是一个整数 $R$，满足 $R < 2\mu$ 且 $R \equiv XY A^{-1} \pmod{\mu}$。该算法进行 $n$ 次迭代，每次在循环内计算一个MRS数字 $q’_i$，最终借助 $q’_i$ 和 $x’_i$ 在RNS中得到 $R$ 的值。

2. 模块化乘法的流水线架构

快速乘法在许多应用中至关重要，尤其是在需要计算一系列乘法以获取指数值的场景中。模块化指数运算作为许多公钥密码学（PKC）的基础和关键操作，其效率直接影响着PKC的性能。蒙哥马利乘法方法是提高模块化乘法效率的有效技术，因此成为使用模块化指数运算的PKC算法的首选。

Mentens等人在FPGA上实现了流水线架构，利用蒙哥马利乘法技术进行高效的模块化乘法。他们通过在硬件设计中提供多级（4级）流水线，显著缩短了关键路径的长度。增加流水线级别使PKC系统能够以更高的频率执行，在短周期时间和