10、蒙哥马利乘法的增强技术及硬件优化方法

蒙哥马利乘法的增强技术及硬件优化方法

1. 蒙哥马利乘法中的余数系统

常见的二进制、八进制、十进制等都是位置数系统，每个数字的权重由其所在位置决定。而余数系统（RNS）的数字没有明显的权重，这使得比较、除法和蒙哥马利乘法（MM）等基本数学运算变得复杂。蒙哥马利乘法严重依赖位置数系统，在循环的中间步骤中会使用到最低有效位（LSB）和最高有效位（MSB），因此RNS不太适合直接用于蒙哥马利乘法。

若要将RNS与蒙哥马利乘法结合，需要借助与RNS相关的混合基数表示中的一些操作数。改进方法的关键逻辑是，如果两个或多个余数系统基于相同的模数，我们可以选择混合基数表示的最低有效位作为RNS的任何一个余数。改进后的算法将乘法与约简步骤交错进行，同时在RNS的每个余数上执行。但每个步骤都需要用其中一个模数进行精确除法，这使算法变得复杂，因为其中一个余数会变得未定义。通过在辅助（冗余）基数中进行所有计算，结果仍可在扩展基数中获得，或者可以使用中国剩余定理来恢复丢失的余数。

1.1 余数系统

设 (x) 是要以RNS表示的整数，(a) 是一组 (n) 个基数，即 (a = {a_1, a_2, \cdots, a_n})，(n) 为基数大小。则 (x) 的RNS表示为：
(\langle x\rangle_a = (x[a_1], x[a_2], \cdots, x[a_n]))
其中 (x) 与 (a_i) 的关系为：
(x[a_i] = x \pmod{a_i})
并且基数集合中的成员应满足互质关系，即：
(\gcd(a_i, a_j) = 1)，其中 (0 < i, j \leq n) 且 (i \neq j)。