前缀和是什么？好吃吗？

1. 定义

• 对于一个给定的数列A ，它的前缀和数列S中S[i+1]表示从第1个元素到第i个元素的总和。
• 假设nums是一个int型列表，形如sum(nums[0:i+1])就是从索引0对应的元素开始，累加到索引i对应的元素的前缀和。
• 譬如nums = [1, 2, 3, 4]，那么其前缀和列表即为pre_sum_lst = [0, 1, 3, 6, 10]。

前缀和的作用是可以在O(1)的时间复杂度下快速地计算出某段连续子数组的和。即
sum(nums[i:j]) = pre_sum_lst[j] - pre_sum_lst[i]

譬如对于上述nums = [1, 2, 3, 4]而言，如果想快速计算出子数组nums[1:4] = [2, 3, 4]的结果，只需要计算pre_sum_lst[4] - pre_sum_lst[1] = 10 - 1 = 9即为答案。

所以，当我们想快速计算连续子数组或者连续子区间nums[i:j]区间和的时候，只需要找到pre_sum_lst[j]和pre_sum_lst[i]即可。

前缀和的作用也可以用来解释，为什么我们会把0也视为一个前缀和并且放在前缀和列表的第一个位置。
由于设置了pre_sum_lst[0] = 0，那么pre_sum_lst[i] - pre_sum_lst[0] = sum(nums[:i])，才能够得到起始位置为原数组nums中包含第一个元素的连续子数组的和。

对于包含原数组nums中的最后一个元素的连续子数组nums[i:n]的和而言，我们会取pre_sum_lst[n]和pre_sum_lst[i]相减。
索引n在原数组中是取不到的，但是由于前缀和数组的长度是n+1，所以pre_sum_lst[n]不会越界。

前缀和可以让我们对编程中的左闭右开区间有更加深入的理解。

2. 构建

可以使用遍历的方式构建前缀和，即

nums = [1, 2, 3, 4]
pre_sum_lst = [0]
# 遍历nums中的每一个元素num
for num in nums:
    # pre_sum_lst的最后一个元素pre_sum_lst[-1]，为上一个前缀和的计算结果
    # 将pre_sum_lst[-1]+num的结果，重新加入列表末尾，得到当前前缀和
    pre_sum_lst.append(num + pre_sum_lst[-1])
print(pre_sum_lst)    # 输出[0, 1, 3, 6, 10]

也可以直接调用内置库itertools中的accumulate()函数来构建前缀和

from itertools import accumulate

nums = [1, 2, 3, 4]
pre_sum_lst = [0] + list(accumulate(nums))
print(pre_sum_lst)    # 输出[0, 1, 3, 6, 10]

需要注意两点：

1. accumulate()函数返回的是一个accumulate可迭代对象，如果需要转化为前缀和数组，需要使用list()进行强制的类型转换
2. accumulate()函数用于对nums中的元素进行累加，不包含前缀和数组最开头的[0]，需要额外加上。