前缀和算法

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一、前缀和算法概念

前缀和算法，也称为累积和算法，是一种用于高效计算数组或序列前缀和的方法。前缀和指的是数组中前n个元素的和，其中n可以是任意位置。前缀和算法的主要思想是通过预处理构建一个额外的数组或序列，其中每个元素存储原数组对应位置之前的所有元素的和。

前缀和算法的优势在于可以在O(1)的时间复杂度内查询任意位置的前缀和。
需要频繁查询或计算区间和的问题非常有用。
例如求解数组中某个区间内的元素和、求解连续子数组和最大的问题等。

二、具体实现

1.一维前缀和

前缀和数组实现步骤：
1.创建一个与原数组形状相同的数组。
2.对于索引0的元素单独赋值，否则在后续创建前缀和数组时会越界错误。
3.一个for循环遍历索引，核心公式如下
$$su{m}_i=su{m}_{i-1}+arra{y}_i$$

查询函数实现步骤
说明：前面得到的前缀和数组都是从第一个元素开始的，也就是说左边界是索引0，右边界可变，但实际上我们想得到任意区间范围内的，也就是左右边界都可以自己设置。这样一旦创建好了前缀和数组，后续查找不需要使用循环，减少了时间复杂度。
1.需要接受的变量：【l：左边界】 【r：右边界】 【sum_array:已经得到的前缀和数组】
2.核心公式：(注意是r减去l-1！！！！！)
$$answer=su{m}_r-su{m}_{l-1}$$

代码如下（示例）：

import numpy as np

def creat_front_sum(array):
    sum_array=np.zeros_like(array)
    sum_array[0]=array[0]
    for i in range(1,len(array)):
        sum_array[i]=sum_array[i-1]+array[i]
    return sum_array

def query(l,r,sum_array):
#防止越界
	if l==0:
		answer=sum_array[r]
	else:
    	answer=sum_array[r]-sum_array[l-1]
    return answer

if __name__=='__main__':
    array=np.array([1,2,3,4,5,6