为什么交叉熵损失可以提高具有sigmoid和softmax输出的模型的性能，而使用均方误差损失则会存在很多问题

一、均方误差的权值更新过程（举例说明）

代价函数经常用方差代价函数（即采用均方误差MSE），比如对于一个神经元（单输入单输出，sigmoid函数）,定义其代价函数为：

其中y是我们期望的输出，a为神经元的实际输出【 a=σ(z), where z=wx+b 】。在训练神经网络过程中，我们通过梯度下降算法来更新w和b，因此需要计算代价函数对w和b的导数：

然后更新w、b：

因为sigmoid函数的性质，导致σ′(z)在z取大部分值时会很小（如下图标出来的两端，几近于平坦），这样会使得w和b更新非常慢（因为η * a * σ′(z)这一项接近于0）。

二、交叉熵代价函数（cross-entropy cost function）

为了克服MSE的这个缺点，引入了交叉熵代价函数：

其中：y为期望的输出，a为神经元实际输出【a=σ(z), where z=∑Wj*Xj+b】。我们同样看看它的导数：

可以看到，导数中没有σ′(z)这一项，权重的更新是受σ(z)−y这一项影响，即受误差的影响。所以当误差大的时候，权重更新就快，当误差小的时候，权重的更新就慢。这是一个很好的性质。

三、总结

1. 当用sigmoid函数作为神经元的激活函数时，最好使用交叉熵代价函数来替代方差代价函数，以避免训练过程太慢。
2. 不过，为什么是交叉熵函数？导数中不带σ′(z)项的函数有无数种，怎么就想到用交叉熵函数？这自然是有来头的，更深入的讨论就不写了。
3. 另外，交叉熵函数的形式是−[ylna+(1−y)ln(1−a)]，而不是 −[alny+(1−a)ln(1−y)]，为什么？因为当期望输出的y=0时，lny没有意义；当期望y=1时，ln(1-y)没有意义。而因为a是sigmoid函数的实际输出，永远不会等于0或1，只会无限接近于0或者1，因此不存在这个问题。