csu 1356 Catch （判断奇环）

csu 1356 Catch

题意：给定n个点，m条边的无向图（没有重边和子环）。从给定点出发，每个时间走到相邻的点，可以走重复的边，相邻时间不能停留在同一点，判断是否存在某个时间停留在任意的n个点。

分析：

（1）首先，和出发点的位置没有关系。因为可以走重复的边，且时间没有限制大小。

（2）图必须是联通的

（3）

1）图为2-0-1-3

从0点出发（时间为0），一个时间后到达1或2（时间为1），再一个时间后到达0或3（时间为2）。。。

可以发现，点分为两类，奇数时间到达和偶数时间到达，答案为NO

2）图为：2-0-1-2（奇环）

· 此图中的点，即可以在奇数时间到达，又可以在偶数时间到达。则答案为YES。比如都有个偶数的到达时间，在小时间在往返的走重复边后，（不改变奇偶，只改变大小，+2）

3）图为：2-0-1-3-2（偶环）

此图中的点和1)类似，同样分为两类。答案为NO

综上：所有点必须都能在奇数时间和偶数时间到达，则需要图能够改变到达点时间奇偶的结构。

由上可知，图中必须存在奇环。问题变成了，判断图是否存在奇环和是否连通

判断存在奇环的方法：

（1）二分图染色 dfs染色

//#pragma warning (disable: 4786)
//#pragma comment (linker, "/STACK:16777216")
//HEAD
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <stack>
#include <map>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int INF = 1000000007;
const double eps = 1e-10;
const int maxn = 100010;
const int MOD = 9997;

int n;
int m, st;
int tot;
vector<int>adj[maxn];
int vis[maxn];
int fla;

int dfs(int x, int fa, int val)
{
    if (vis[x] == -1) vis[x] = val;
    else return vis[x];
    tot++;

    for (int i = 0; i < adj[x].size(); i++)
    {
        int y = adj[x][i];
        //if (y != fa)
        //{
            if (vis[x] == dfs(y, x, vis[x] ^ 1))
                fla = 1;
        //}
    }
    return vis[x];
}

int main ()
{
    int T;
    cin >> T;
    int x, y;
    int ncase = 1;
    while (T--)
    {
        memset(vis, -1, sizeof(vis));///初始化为-1，染成0和1
        cin >> n >> m >> st;
        for (int i = 0; i< n; i++) adj[i].clear();
        while (m--)
        {
            scanf("%d%d", &x,&y);
            adj[x].push_back(y);
            adj[y].push_back(x);
        }
        fla = 0;///判断是否找到奇环
        tot = 0;///记录联通的点数
        dfs(st, -1, 0);

        printf("Case %d: ", ncase++);
        if (fla && tot == n) puts("YES");
        else puts("NO");
    }

    return 0;
}

（2）二分图染色 bfs染色

（3）并查集

加权并查集的特例种类并查集。既可以判断连通性，也可以判断种类。

加权并查集，需要取模是，注意正确性，尤其是当有减法和除法。

//#pragma warning (disable: 4786)
//#pragma comment (linker, "/STACK:16777216")
//HEAD
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <stack>
#include <map>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int INF = 1000000007;
const double eps = 1e-10;
const int maxn = 100010;
const int MOD = 9997;

int n;
int m, st;
int tot;
vector<int>adj[maxn];

int fa[maxn];
int val[maxn];

void init(int n)
{
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        fa[i] = i;
        val[i] = 0;
    }
}
int find(int x)
{
    if (x != fa[x])
    {
        int oldfa = fa[x];
        fa[x] = find(fa[x]);
        val[x] ^= val[oldfa];
//        val[x] = (val[x] + val[oldfa]) % 2;
    }
    return fa[x];
}

int main ()
{
    int T;
    cin >> T;
    int x, y;
    int ncase = 1;
    while (T--)
    {
        cin >> n >> m >> st;
        for (int i = 0; i < n; i++) adj[i].clear();
        init(n);
        int fla = 0;
        if (n == 1) fla = 1;
        while (m--)
        {
            scanf("%d%d", &x,&y);
            adj[x].push_back(y);
            adj[y].push_back(x);
            int fax = find(x);
            int fay = find(y);
            if (fax != fay)
            {
                fa[fax] = fay;
                val[fax] = val[x] ^ val[y] ^ 1;
//                val[fax] = (val[x] - val[y] + 1 + 2) % 2;
            }
            else if (val[x] ^ val[y] == 0)
                fla = 1;
        }
        int fax = find(0);
        for (int i = 1; i < n; i++)
            if (find(i) != fax)
            {
                fla = 0; break;
            }
        printf("Case %d: ", ncase++);
        if (fla) puts("YES");
        else puts("NO");
    }

    return 0;
}
/*
2
3 3 0
0 1
0 2
1 2
2 1 0
0 1
*/