求逆元 求组合数

求一个数a的模p（一般为质数，否则有些数求不出逆元）的逆元。

(1)

费马小定理：

费马小定理是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

则a的逆元是（a%p）^(p - 1)，要求p为质数，且（a，p）= 1，a为整数。注意：a>p时先取模。

欧拉定理:在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则: 

则a的逆元是a^(p - 1),要求a和p互质，且a和p为正整数。

（2）

求组合数方法

（1）递推

（2）利用逆元和公式（一般要求mod p为质数） 。
cm(a,b)

= (a!/(a-b)!) / (b!) mod p 

= a! * inv(b!) * inv( (a - b)! ) mod p

= a! * (b!*(a-b)!)^(p-2) mod p

（3）利用Lucas定理（一般要求mod p为质数）。http://blog.youkuaiyun.com/wukonwukon/article/details/7341270

数论Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p的 值,p是素数（从n取m组合，模上p）。

描述为:

Lucas(n,m,p)=cm(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)

Lucas(x,0,p)=1;

而

cm(a,b)=a! * (b!*(a-b)!)^(p-2) mod p

也= (a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p

这里，其实就是直接求 (a!/(a-b)!) / (b!) mod p

由于 (a/b) mod p = a * b^(p-2) mod p

注：对于大组合数取模，n,m不大于10^5的话，用逆元的方法，可以解决。对于n,m大于10^5的话，那么要求p<10^5，这样就是Lucas定理了，将n,m转化到10^5以内解。

http://www.kuangbin.net/archives/lucas_theorem#more-228

http://blog.youkuaiyun.com/acm_cxlove/article/details/7844973

Lucas定理求组合数的模板： 

模板题: hdu3037 Saving Beans

#define LL long long
LL PowMod(LL a,LL b,LL MOD){
    LL ret=1;
    while(b){
        if(b&1) ret=(ret*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
LL fac[100005];
LL Get_Fact(LL p){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=p;i++)
        fac[i]=(fac[i-1]*i)%p;
}
LL Lucas(LL n,LL m,LL p){
    LL ret=1;
    while(n&&m){
        LL a=n%p,b=m%p;
        if(a<b) return 0;
        ret=ret*fac[a]%p*PowMod(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p)%p;
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ret;
}

LL F[100010];
void Get_F(LL p)
{
	F[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= p;i++)
		F[i] = F[i-1]*i%p;
}
//LL inv(LL a,LL m)
//{
//    if(a == 1)return 1;
//    return inv(m%a,m)*(m-m/a)%m;
//}
LL inv(LL x, LL M)
{
    LL r, y;
    for (r = 1, y = M - 2; y; x = x * x % M, y >>= 1)
        (y & 1) && (r = r * x % M);
    return r;
}
LL Lucas(LL n,LL m,LL p)
{
	LL ans = 1;
	while(n&&m)
	{
		LL a = n%p;
		LL b = m%p;
		if(a < b)return 0;
		ans = ans*F[a]%p*inv(F[b]*F[a-b]%p,p)%p;
		n /= p;
		m /= p;
	}
	return ans;
}