HDU 3723 Delta Wave（2010 Asia Tianjin Regional Contest ）

最新推荐文章于 2023-01-11 16:49:19 发布

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分类专栏：数学-卡特兰数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/gungnir0711/article/details/48880565

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本文介绍了一种利用卡特兰数解决HDU 3723问题的方法。通过分析题目特点，给出了具体的数学模型，并使用高精度递推计算求解，最终实现了对题目的有效解答。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目链接】http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3723

【解题报告】
结论题，知道是卡特兰数的话就会很好写。
我们知道最后偏移量为0，所以假如向上偏移一次，就一定会有对应的向下偏移一次。这类似一个入栈出栈操作。
假如有i次入栈，那么对应的i个数的出栈序列为:

    2*C(  2i,n )*Cat(i).

其中：

    cat(i)=cat(i-1)*2(2i-1)/(i+1);

化简公式得到递推式为：

    ans[i]/ans[i-1]=(n-2i+2)*(n-2i+1)/(i*(i-1));

然后高精度递推计算，累加ans[i]即可。

【参考代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn=100000;

int C[maxn],ans[maxn];
int n,len;

int main()
{
    while( ~scanf("%d",&n) )
    {
        memset(C,0,sizeof(C));
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        C[1]=1; len=1;  //i=0的时候
        ans[1]=1;  //i=0的时候
        for( int i=1; i*2<=n; i++ )
        {
            for( int j=1; j<=len; j++ ) C[j]*=(n-2*i+2)*(n-2*i+1);  
            for( int j=1; j<len; j++ ) if(C[j]>9){ C[j+1]+=C[j]/10; C[j]%=10; }
            while( C[len]>10 )//进位
            {
                C[len+1]=C[len]/10;
                C[len]%=10;
                len++;
            }
            for( int j=len; j>=1; j-- )
            {
                if( C[j]/(i*(i+1))==0 )
                {
                    C[j-1]+=C[j]*10;
                    C[j]=0;
                    if(len==j)len--;
                }
                else
                {
                    C[j-1]+=C[j]%(i*(i+1))*10;
                    C[j]/=i*(i+1);
                }
            }
            for( int j=1; j<=100; j++ )ans[j]+=C[j];
            for( int j=1; j<=100; j++ )
            {
                if( ans[j]>9 )
                {
                    ans[j+1]+=ans[j]/10;
                    ans[j]%=10;
                }
            }
        }
        int ans_len=100;
        while( ans[ans_len]==0 )ans_len--;
        for( int i=ans_len; i>=1; i-- )printf("%d",ans[i]);
        printf("\n");
    }

    return 0;
}