Codeforces 521C 组合数取模(乘法逆元)

本文介绍了如何解决算法竞赛中关于组合数取模的问题,通过实例解析了Codeforces 521C题目的解题思路。文章强调了正向思维的不可行性,并提出了通过去冗余的方法优化。通过枚举数字在不同位置出现的次数,结合乘法逆元概念,实现了在n<=1e5范围内的高效计算。同时,文章提到了预处理O(1)查询C(n,m)的方法,涉及fac和inv数组的使用。" 133617124,19987386,JavaScript闭包详解与实战示例,"['JavaScript', 'ECMAScript', '开发语言']

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【题目链接】
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=106914#overview

【解题报告】
之前很少遇到组合数取模的问题(做题太少了),所以就GG了……组合数取模这一问题在算法竞赛中还是很常见的,必须扎实掌握。
回到这道题目来,你需要在n个数之间放k个加号,然后求出所有方案的和。
我们知道正向思维,即求出所有的方案,然后对每个方案进行求和是不可取的(数据规模太大)。
所以把这个过程去冗余,怎么去冗余呢?我们知道位置i的数字a[i]会在C(n-1,k)种方案中出现,而它在每种方案中只可能以第1位(从低位开始计),第二位…..这些情况出现。
所以我们考虑枚举每一位数字在各个位置上出现的次数

设s[i]表示第i位数字a[i]在总和中的贡献,
s[i]/a[i]=10^(i-1)C(n-i,k)+ sigma{   10^(j-1)C(n-j-1,k-1)    }( 1<=j<=i-1 )

我们直接对这个式子进行求和即可。(要注意,需要把右面的式子提取出来,处理一下前缀和,否则O(n^2)的时间复杂度是无法承受的)
由于n的范围为n<=1e5,所以这里的组合数取模需要使用乘法逆元。
这里学习了一个通过预处理O(1)查询C(n,m)的方法。
其中fac[m]是m!; inv[m]是m!%mod的逆元。
这里写图片描述

【参考代码】

#include<bits/std
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