调和方程与边界元方法：解析解与积分计算
本文详细探讨了调和方程在不同维度下的基本解，通过数学推导证明了二维和三维空间中拉普拉斯方程的解的形式，并介绍了边界元方法的基本知识。此外，还涉及到了特定积分的计算方法，特别是涉及线段夹角的弧度值的积分问题。
前言
调和方程的基本解以及边界元方法中某积分的解析结果。
调和方程
设 u ( x 1 , . . . , x n ) = f ( r ) u(x_1, ..., x_n) = f(r) u(x1,...,xn)=f(r) （其中 r = x 1 2 + . . . + x n 2 r = \sqrt{x_1^2 + ... + x_n^2} r=x12+...+xn2 ）是 n n n 维调和函数 （即满足方程 ∂ 2 u ∂ x 1 2 + . . . , + ∂ 2 u ∂ x n 2 = 0 \frac{\partial^2u}{\partial{x_1^2}} + ..., + \frac{\partial^2u}{\partial{x_n^2}} = 0 ∂x12∂2u+...,+∂xn2∂2u=0）,证明如下等式成立
f ( r ) = c 1 + c 2 r n − 2 ( n ≠ 2 ) f(r) = c_1 + \frac{c_2}{r^{n-2}} \ \ \ \ \ \ \ \ (n \neq 2) f(r)=c1+rn−2c2 (n=2)
f ( r ) = c 1 + c 2 l n 1 r ( n = 2 ) f(r) = c_1 + c_2ln\frac{1}{r} \ \ \ \ \ \ (n = 2) f(r)=c1+c2lnr1 (n=2)
其中 c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2 为任意常数。
证明：
u = f ( r ) , ∂ u ∂ x i = f ′ ( r ) ⋅ ∂ r ∂ x i = f ′ ( r ) ⋅ x i r u = f(r), \ \ \ \frac{\partial{u}}{\partial{x_i}} = f^{'}(r) \cdot \frac{\partial r}{\partial x_i} = f^{'}(r) \cdot \frac{x_i}{r} u=f(r), ∂xi∂u=f′(r)⋅∂xi∂r=f′(r)⋅
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