有限元方法之三角形元任意阶的Lagrange型形状函数

前言

本文主要介绍Lagrange型形状函数在三角形单元上基函数公式和节点坐标公式的推导，以及相应的面积坐标相关知识。

求解区域

求解区域即偏微分方程所定义的区域，或者说几何形状。

1. 一维

一维元素多是线元即线段。相应元素节点可以取线段的两个端点，或者线段中点。

2. 二维

二维元素有三角形，矩形，四边形等。相应元素节点可以取多边形的顶点，或者边的中点，以及多边形的形心。

3. 三维

三维元素有四面体，五面体，三棱柱体，六面体等。

形状函数

形状函数一般采用多项式，一是计算方便；二是易于证明其收敛性，并要求多项式的次数与元素（单元）自由度匹配得当。

1. 一维 $k$ 次多项式 $$p_k(x)=\sum _{i=0}^{T_k^{(1)}}{a}_i{x}^i$$
   其中$T_k^{(1)}=k+1$ 是 $p_k(x)$ 的项数。

2. 二维 $k$ 次多项式 $$p_k(x,y)=\sum _{m=1}^{T_k^{(2)}}{a}_m{x}^i{y}^{j}i+j\le k$$
   它的独立项数 $T_k^{(2)}=\frac{1}{2}(k+1)(k+2)$ 。
   二维$k$次完全多项式自由度可以用如下一个三角形排列表示：
   

3. 三维 $k$ 次完全多项式 $$p_k(x,y,z)=\sum _{l=1}^{T_k^{(3)}}{a}_l{x}^i{y}^j{z}^{m}i+j+m\le k$$
   其中独立项数 $T_k^{(3)}=(k+1)(k+2)(k+3)/6$ 。
   三维$k$次多项式自由度可以排列成如下四面体形式：
   

三角形单元

在二维问题中，三角形元素被广泛采用，除了它形状简单，随意性大，适应区域形状能力强的优点，当采用面积坐标后，三角形单元的形状函数生成简单，容易标准化。

面积坐标

设任意三角形三个顶点$A_1$ $A_2$ $A_3$ 按逆时针排列，三角形的面积为$\Delta$。 取三角形内任一点$P(x,y)$，由点$P$向三个顶点分别引直线，将三角形分割成三个三角形$P{A}_2{A}_3$， $P{A}_3{A}_1$， $P{A}_1{A}_2$。分别记相应的面积为${\Delta }_1$，${\Delta }_2$，${\Delta }_3$，令
$${\lambda }_1={\Delta }_1/\Delta ,{\lambda }_2={\Delta }_2/\Delta ,{\lambda }_3={\Delta }_3/\Delta ,(1)$$
称${\lambda }_i(i=1,2,3)$为$P$点的面积坐标，显然有
$$0\le {\lambda }_i\le 1,{\lambda }_1+{\lambda }_2+\lambda 3=1(2)$$
说明，三角形$A$