CF451E Devu and Flowers

最新推荐文章于 2024-05-23 22:05:08 发布

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博客介绍了如何运用Lucas定理优化计算，解决一种多重集组合数计数模板题。在有限制的不定方程非负整数解问题中，通过转换表达式并应用Lucas定理，避免了长整数乘法导致的溢出，提高了计算效率。

Label

多重集组合数计数模板题+朴素Lucas定理优化计算

Description

CF451E Devu and Flowers

Solution

将每种颜色的花的总数看作是选择此种花的个数的上限，那么这个题便被转化为裸的有限制不定方程非负整数解（多重集组合数）计数问题。

对于每组数据，答案为：
$C_{s+n-1}^{n-1}+\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\sum_{a_i<a_{i+1}}^{|a|=k}C_{s-\sum_{i=1}^{k}(f_{a_i}+1)+n-1}^{n-1}$

最后注意：根据此处 $s, n$ 范围，二者直接相乘会爆long long，所以，要么将题中出现的计算乘法取模的地方全部改写为慢速乘，要么使用 $L u c a s$ 定理从而使乘法因子的大小降至 $10^9+7$ 以下。

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ri register int
#define ll long long
using namespace std;

const int MAXN=25;
const ll MOD=1e9+7;
int N,cnt;
ll S,f[MAXN],ans,sumf;

ll qpow(ll a,ll b)
{
	if(b==0) return 1;
	register ll val=qpow(a,b>>1);
	val=val*val%MOD;
	if(b&1) val=val*a%MOD;
	return val;
}

ll C(ll n,ll m)
{
	if(n<m) return 0;
	if((n==0)||(m==0)) return 1LL;
	ll fm=1,fz=1;
	for(ll i=n-m+1;i<=n;++i) fm=fm*i%MOD;
	for(ll i=1;i<=m;++i) fz=fz*i%MOD;
	return fm*qpow(fz,MOD-2)%MOD;
}

ll Lucas(ll n,ll m)
{
	if(n<0||n<m) return 0LL;
	if(m==0||n==m)	return 1LL;
	return Lucas(n/MOD,m/MOD)*C(n%MOD,m%MOD)%MOD;
}

int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>N>>S;
	for(ri i=1;i<=N;++i) cin>>f[i];
	ans=Lucas(N+S-1,N-1);
	for(ri s=1;s<(1<<N);++s)
	{
		cnt=0,sumf=0;
		for(ri i=1;i<=N;++i)
			if(s&(1<<(i-1))) 
				++cnt,sumf+=f[i]+1;
		if(cnt&1) ans=((ans-Lucas(N+S-1-sumf,N-1))%MOD+MOD)%MOD;
		else ans=(ans+Lucas(N+S-1-sumf,N-1))%MOD;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}