组合数学二：广义容斥原理

最新推荐文章于 2024-04-23 17:00:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Patt/p/7692551.html

集合 $S$ 非空。考虑形如 $s_1, s_2, \dots, s_n$，$s_i \in S$ 的序列 $s$ 。
给定针对序列 $s$ 的若干约束条件 $C$。又给定映射 $p \colon S\to \{0,1\}$。$f(s) := \sum_{1\le i \le n} p(s_i)$

求既满足约束条件 $C$ 又满足 $f(s) = k$ 的序列 $s$ 的数目，将此数目记做 $a_k$。

上述问题是常见的一类计数问题的抽象。

以下假设所考虑的序列 $s$ 都满足约束条件 $C$ 。

这类问题一般的解法是，指定 $m$ 个位置使得这些位置上的 $s_i$ 满足 $p(s_i) = 1$，同时保证整个序列满足约束条件 $C$ 。
令 $b_m = \binom{n}{m} g(n, m)$；其中 $g(n,m)$ 表示既满足 $p(s_i) = 1$（$1 \le i \le m$），又满足约束条件 $C$ 的序列 $s$ 的个数。

在 $b_m$ 中，满足 $f(s) = x$（$x\ge m$）的序列 $s$ 被重复计数了 $\binom{x}{m}$ 次，即有
\[
b_m = \sum_{i = m}^{n} \binom{i}{m} a_i
\]

我们有

\[
a_0 = \sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} b_i
\]

证明是简单的。