35、整数上的积分差分比函数与条件林登迈尔系统

整数上的积分差分比函数与条件林登迈尔系统

整数上积分差分比函数的证明与实例

定理 1 中蕴含关系的证明

假设函数 (f: Z \to Z) 的 Z - 牛顿展开式 (\sum_{n\in N} a_k P_k(x)) 满足对于所有的 (n)，(\text{lcm}(n)) 能整除 (a_n)，要证明 (f) 具有积分差分比。对于给定的 (i, j \in Z)，(f(i) - f(j)) 是有限个 (a_nP_n(i) - a_nP_n(j)) 的和，所以只需证明每个函数 (x \to \text{lcm}(n)P_n(x)) 具有积分差分比。设 (j < i)，(i, j \in Z)，通过对 (n) 的奇偶性以及 (i, j) 的符号（即 (i, j) 相对于区间 ((-\infty, -k])，([-k, k])，([k, +\infty)) 的位置，其中 (k = \lfloor n/2\rfloor)）进行分情况讨论来证明 (i - j) 能整除 (\text{lcm}(n)(P_n(i) - P_n(j)))，具体情况如下：
1. 情况 1：(n = 2k) 且 (i, j \in (-\infty, -k])
- (P_{2k}(i) - P_{2k}(j) = \binom{k + |i|}{2k} - \binom{k + |j|}{2k})。
- 应用引理 3（其中 (b = k + |i| \geq 2k)，(n = |j| - |i|)），可知 (|j| - |i| = i - j) 能整除 (\text{lcm}(2k)(P_{2k}(j) - P_{2k}(i)))。
2.