19、量子哈希与自动机中的计算与复杂度

量子哈希与自动机中的计算与复杂度

1. 量子哈希计算布尔函数

1.1 量子OBDD宽度下限

对于一个由有界误差的量子只读一次分支程序 $Q$ 计算的布尔函数 $f(x_1, \ldots, x_n)$，存在如下定理：
设 $P$ 是计算 $f(x_1, \ldots, x_n)$ 的最小宽度的确定性OBDD，则量子OBDD $Q$ 的宽度满足：
[width(Q) \geq \frac{\log width(P)}{2 \log (1 + \frac{1}{\epsilon})}]
这表明量子OBDD的宽度渐近上不会小于计算同一函数的最小确定性OBDD宽度的对数。对于许多“自然”函数，其确定性宽度是指数级的，因此可以得到这些函数的线性下限。

若用 $bits(P)$ 表示实现计算 $f$ 的最小确定性OBDD $P$ 所需的比特数（内存大小），$Q$ 是计算同一函数的任意量子OBDD，则有：
[qubits(Q) = \Omega(\log bits(P))]

1.2 量子哈希函数

设 $q = 2^n$，$B = {b_1, b_2, \ldots, b_d} \subset Z_q$，定义量子哈希函数 $\psi_{q,B} : {0, 1}^n \to (H_2)^{\otimes (\log d + 1)}$ 为：
对于输入 $x \in {0, 1}^n$，
[|\psi_{q,B}(x)\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}} \sum_{i = 1}^{d} |i\rangle \left(\cos \frac{2\pi b_i x}{q} |