18、细胞自动机与量子计算中的同步及布尔函数计算

细胞自动机与量子计算中的同步及布尔函数计算

细胞自动机的同步算法

在细胞自动机领域，同步问题一直是研究的热点。其中，二维（2D）阵列的同步问题尤为重要。

矩形阵列同步

对于二维矩形阵列的同步，许多学者提出了不同的算法。例如，Beyer、Grasselli、Shinahr、Szwerinski、Umeo等人都有相关的研究。

研究表明，不存在能在少于 (m + n + \max(m, n) - 3) 步内同步任何 (m×n) 二维阵列的细胞自动机（这里将军位于阵列的一个角落）。不过，存在能在恰好 (m + n + \max(m, n) - 3) 步内同步任何 (m×n) 二维阵列的细胞自动机。

Umeo、Hisaoka 和 Akiguchi 在 2005 年提出了一种 12 状态的同步算法，该算法能在最优步数内实现同步，是目前已知的解决矩形同步问题的最小状态解。这个 12 状态的细胞自动机有 1532 条转换规则。

当将军初始位于二维阵列的任意点 (C_{r,s}) 时，存在以下结论：
- 不存在能在少于 (m + n + \max(m, n) - \min(r, m - r + 1) - \min(s, n - s + 1) - 1) 步内同步任何 (m×n) 二维阵列的细胞自动机。
- 存在能在最优的 (m + n + \max(m, n) - \min(r, m - r + 1) - \min(s, n - s + 1) - 1) 步内同步任何 (m×n) 矩形阵列的最优时间同步算法。

正方形阵列同步

正方形同步是矩形同步的特殊情况。Beyer、Shi