23、密码学中的类幺半群码

密码学中的类幺半群码

1. 引言

在1996年，研究表明，如果足够强大的量子计算机被制造出来，实际应用中的传统公钥密码学将容易受到可行的攻击。为了预先应对此类攻击，人们研究了几种抗量子计算机攻击的计算问题，将其作为密码安全的基础。

其中一个有前景的计算问题是 syndrome 解码问题。1978年，McEliece展示了如何基于二进制Goppa码的解码问题构建公钥加密方案，当给定伪装形式的生成矩阵时，将二进制Goppa码解码到其完全纠错能力。2001年，Courtois、Finiasz和Sendrier表明，签名方案也可以基于相同的问题构建。

到目前为止，还没有算法能够比完全随机线性码更好地解码Goppa码或密切相关的广义Srivastava（GS）码。而且，解码随机线性码的问题被广泛认为非常困难。使用Goppa/GS码的密码方案的主要缺点是，与具有可比实际安全性的经典方案相比，它们的密钥大几个数量级。这个大密钥尺寸的问题与码的描述大小直接相关，这是本文要解决的主要问题。

2. 相关工作

寻找具有小描述的Goppa/GS码的问题并不新鲜。
- Wild Goppa码 ：Bernstein、Lange和Peters发现，在$F_q$上的Goppa码，当Goppa多项式有$t$个重数为$r - 1$的根且$r$整除$q$时，具有纠正$\lfloor rq/2 \rfloor$个错误的能力，而不是使用交替解码器通常能纠正的$\lfloor (r - 1)q/2 \rfloor$个错误。这些码被称为Wild Goppa码，由于其增强的纠错能力，对于相同级别的实际安全性，可以使用描述更小的码。