23、密码学中的幺半群码

密码学中的幺半群码

1. 引言

在1996年，研究表明，如果足够强大的量子计算机被制造出来，实际应用中的传统公钥密码学将容易受到攻击。为了提前应对这些攻击，人们研究了一些抗量子计算机攻击的计算问题，将其作为密码安全的基础。

其中， syndrome 解码问题是一个有前景的候选问题。1978年，McEliece展示了如何基于二进制Goppa码的解码问题构建公钥加密方案；2001年，Courtois、Finiasz和Sendrier表明可以基于同样的问题构建签名方案。

目前，没有算法能比完全随机线性码更好地解码Goppa码或广义Srivastava（GS）码，而随机线性码的解码问题被广泛认为非常困难。然而，使用Goppa/GS码的密码方案的主要缺点是其密钥比具有可比实际安全性的经典方案大几个数量级，这与代码描述的大小直接相关，也是本文要解决的主要问题。

2. 相关工作

寻找具有小描述的Goppa/GS码并非新问题：
- Wild Goppa码 ：Bernstein、Lange和Peters发现，在Fq上的Goppa码，当Goppa多项式有t个重数为r - 1的根且r整除q时，能纠正⌊rq/2⌋个错误，而不是使用交替解码器时通常的⌊(r - 1)q/2⌋个错误。这些码被称为wild Goppa码，由于其增强的纠错能力，可以使用描述更小的码来达到相同的实际安全级别。
- 准二元码 ：Barreto和Misoczki定义了一类新的准二元码，具有非常紧凑的描述，并表明它与二进制Goppa码类有非空交集。后来，他们与Cayrel和Niebuhr一起表明，准