12、双层平方与Square+密码系统的密码分析

双层平方与Square+密码系统的密码分析

1. 研究背景与目标

在密码学领域，多变量二次（MQ）公钥方案近年来得到了一定的发展。然而，随着这些方案的出现，针对它们的密码分析也变得愈发重要。本文聚焦于对两种公钥方案——双层平方（Double - Layer Square）和Square+的高效密码分析。我们将展示如何通过改进的MinRank攻击破解双层平方方案，并利用奇特征HFE的密码分析方法和MinRank攻击来破解Square+方案。

2. 相关概念与符号说明

2.1 多变量二次公钥系统

每个MQ方案都使用一个公共的多变量二次映射 $P: F_q^n \to F_q^m$，其形式为：
[P :=
\begin{pmatrix}
p^{(1)}(x_1, \ldots, x_n) \
\vdots \
p^{(m)}(x_1, \ldots, x_n)
\end{pmatrix}]
其中，$p^{(k)}(x_1, \ldots, x_n) := \sum_{1\leq i\leq j\leq n} \gamma_{ij}^{(k)} x_i x_j$ 作为公钥。陷门由一个结构化的中心映射 $F: F_q^n \to F_q^m$ 给出：
[F :=
\begin{pmatrix}
f^{(1)}(x_1, \ldots, x_n) \
\vdots \
f^{(m)}(x_1, \ldots, x_n)
\end{pmatrix}]
其中，$f^{(k)}(x_1, \ldots, x_n) := \sum_{