8、达到韦尔奇界的准则及其在 MUBs 中的应用

达到韦尔奇界的准则及其在 MUBs 中的应用

在数学和物理学的诸多领域，向量和矩阵的性质研究一直是重要课题。韦尔奇界（Welch bounds）在向量系统的研究中具有关键作用，它为向量系统的某些性质提供了理论上的界限。本文将围绕达到韦尔奇界的准则展开，深入探讨其在相互无偏基（MUBs）中的应用。

韦尔奇界相关理论基础

首先，我们来看矩阵 (G) 的相关性质。矩阵 (G) 等于 (B^{\dagger}B)，若将 (w_i) 视为行向量，则 (G = w_1^{\dagger}w_1 + w_2^{\dagger}w_2 + \cdots + w_n^{\dagger}w_n)。通过和的幂公式，我们可以得到 (G^{(k)}) 的表达式：
[G^{(k)} = \sum_{k_1 + \cdots + k_n = k} \binom{k}{k_1, \cdots, k_n} \left[ w_1^{(k_1)} \circ \cdots \circ w_n^{(k_n)} \right]^{\dagger} \left[ w_1^{(k_1)} \circ \cdots \circ w_n^{(k_n)} \right]]
这里，(G^{(k)} = C^{\dagger}C)，其中 (C) 的行恰好是来自集合 (W) 的向量。这就给出了 (G^{(k)}) 秩的界限，因为 (n) - 集合的 (k) - 多重集的数量等于 (\binom{n + k - 1}{k})。

通过观察不等式，我们发现序列 (X) 满足固定 (k) 的韦尔奇界且取等号的充要条件是 (G^{(k)}) 有 (\binom{n + k - 1}{k}) 个相等的非零特征值（由于秩的观察，其