算法导论习题解-第22章基本的图算法

总结

深度优先搜索

按照访问顺序，每个顶点标记两个序号，首次访问时的次序，以及探索完该顶点所有分支时的次序。边可以分成四种：树边，前向边，后向边（回边），横向边。(图片来自 算法概论 by dasgupta)

有向无环图和拓扑排序

• 有向图有环当且仅当DFS过程中遇到回边。
• 有向无环图中每一条边都指向一个finish值更小的顶点。
• 对于DFS，无环性、可线性化、无回边三者是等价的。

拓扑排序的两种方式:(1)由上述性质2可知，将顶点按照finish值降序排列即可。(2)每次删除一个只有出边没有入边的顶点。在实现时，记录下每个顶点的入边数量，一旦某个顶点的入边数量降为0，即可输出该顶点。这样的话两种算法的效率是一样的，都是O(V+E)。

强连通分量

一个强连通分量是指分量中任意顶点之间都是互相可达的。将一个分量收缩成一个点，则原图变成一个有向无环图。(图片来自 算法概论 by dasgupta)

假设分量A有指向分量B的边，则从A做DFS一定可以探索完B的节点，而从B出发不可能到达任何A的节点。假设在收缩图中，B是一个汇点，那么从B的任何顶点出发，将只可能探索到B中的顶点。如何找到这样的汇点分量B呢？将原图的所有边反转，在收缩图中B就成为源点(只有出边没有入边)，就可以成为拓扑排序的第一个元素。算