算法导论第22章部分答案

参考https://blog.youkuaiyun.com/github_35807147/article/details/79110801

22.1-1 给定有向图的邻接链表，需要多长时间才能计算出每个结点的出度（发出的边的条数）？给定时间才能计算出每个节点的入度（进入的边的条数）？
一个图G(V,E),(V为点数，E为边数），邻接链表空间为O(V+E)。
而邻接表要遍历，因此计算每个节点的出度和入度的总时间都为O(V+E)

22.1-2 给定一棵有7个节点的完全二叉树的邻接链表，请给出等价的邻接矩阵表示。这里假设结点的编号为从1~7。
见书22章的图22-1 的a，b，c吧

22.1-3有向图G=(V,E)的转置是图$G^T=(V,E^T)$, 这里$E^T$={ (v，u）∈VV; (u，v）∈ E }.因此，图$G^T$就是将有向图G中所有边的方向反过来而形成的图。对于邻接链表和邻接矩阵两种表示，请给出从图G中计算出$G^T$的有效算法，并分析算法的运行时间。*
即对于有向图而言，要把所有的边反向，
如果是邻接矩阵，那么直接某格和某格交换，j即矩阵转置，时间是O(V^2)/2;
如果是邻接链表，那么要先开辟O(V+E)个空间，一 一遍历，重新建表格。

22.1-4 给定多图G= (V,E) 的邻接链表（多图是允许重复边和自循环边的图），请给出一个时间为O(V+E）的算法，用来计算该图的“等价”无向图 G’=(V,E’)的邻接链表表示。这里E’是将E中的冗余边和自循环边删除余下的边，删除冗余边指的是将两个结点之间的多条边替换为一条边。
标记法，第一次出现就不删除，这样就是o（V+E）了。

22.1-5 有向图G=(V,E)的平方图是图$G^2=(V,E^2)$，这里，边（u，v）∈$E^2$当且仅当图G包含一条最多由两条边构成的从u到v的路径。请给出一个有效算法来计算图G的平方图$G^2$，这里图G既可以以邻接链表来表示，也可以用邻接矩阵来表示，请分析算法的运行时间。
解：
参考：https://blog.youkuaiyun.com/qq_35859033/article/details/78534993
什么是平方图呢，图是一个矩阵，那么矩阵*矩阵得到一个矩阵，
有$c_{ij}$=${\sum }_{K=1}^n$$a_{ik}\ast b_{kj}$,而矩阵里每一格子（x,y）表示x到y可行否，那么 $a_{ik}\ast b_{kj}$1,则表示 i可到k,k可到j，那也就是说存在走两步从 i到j 的路径。那么$c_{ij}$ 表示的就是有多少条经过两步从i到j的路径==。

因此如果用邻接矩阵表示的，从上面的公式可知就得用 o（VV(2v-1)）的时间，
如果用邻接链表表示，找每个边用o(V+E)，找$a_{ij}$用o（$V_i$），找$b_{jk}$再用O($V_j$)，总共是o（V+EVV）;
而如果用空间换时间，邻接矩阵和邻接链表都使用，那么o（V+EV）;

22.1-6 多数以邻接矩阵作为输入的图算法的运行时间为 Ω（$V^2$），但也有例外。给定图G的邻接矩阵表示，请给出一个O(V)时间的算法来判断有向图G中是否存在一通用汇点。通用汇点是指入度为 |V|-1但出度为0的结点。
如果i到j是
思考矩阵，如果横行 i 表示出度，纵行 j 表示入度，那么要汇点也就是横行都为0，