26、蒙特卡罗模拟在金融计算中的应用与优化

蒙特卡罗模拟在金融计算中的应用与优化

1. 蒙特卡罗路径离散化方案

在金融领域的数学建模与计算中，有多种基于泰勒展开的蒙特卡罗路径离散化方案，如欧拉（Euler）和米尔斯坦（Milstein）方案，以及针对CIR类型过程的精确模拟方案。精确模拟方案虽然通常更复杂，但精度更高。在模拟中可以使用较大的时间步长，从而在达到满意精度的情况下所需的时间步数更少。该方案的起点是[Broadie and Kaya, 2006]中的精确模拟。其他精确或近似精确模拟的例子包括[Grzelak et al., 2018]的随机配置蒙特卡罗方法（SCMC），以及[Chen et al., 2012; Leitao et al., 2017b,a]中的SABR模拟方法。与条件抽样方案密切相关的是布朗桥技术，它可以加速蒙特卡罗方法的收敛。

2. 蒙特卡罗模拟的改进

2.1 收敛加速技术

普通蒙特卡罗方法的收敛可以通过多种方式加速，其中对偶抽样是一种基本技术。它通过在模拟中除了使用随机样本$Z \sim N(0, 1)$外，还使用样本$-Z$来生成另一条路径，从而降低抽样的方差。已知若$Z \sim N(0, 1)$，则$-Z \sim N(0, 1)$。利用这一性质可以大幅减少蒙特卡罗模拟所需的路径数量。

设$V_N^i$是通过蒙特卡罗方法得到的近似值，$\hat{V}_N^i$是使用$-Z$得到的近似值。取平均值$\bar{V}_N^i = \frac{1}{2}(V_N^i + \hat{V}_N^i)$得到另一个近似值。由于$V_N^i$和$\hat{V}_N^i$都是随机变量，目标是使$Var[\bar{V}_N^i] < Var[V_N^i]