25、金融蒙特卡罗模拟方法解析

金融蒙特卡罗模拟方法解析

在金融领域，蒙特卡罗模拟是一种强大的工具，可用于模拟各种复杂的随机过程，尤其是在处理随机波动率模型和CIR过程时。本文将详细介绍几种常见的蒙特卡罗模拟方法，包括反射和截断欧拉方案、CIR模型的精确模拟、二次指数方案以及Heston模型的蒙特卡罗方案。

1. 反射和截断欧拉方案

在模拟CIR过程时，当Feller条件不满足时，反射原理是一种有用的修改方法。反射方案是对欧拉方案的调整，具体公式如下：
[
\begin{cases}
\hat{v} {i + 1} = v_i + \kappa(\bar{v} - v_i)\Delta t + \gamma\sqrt{v_i}\Delta tZ \
v {i + 1} = |\hat{v}_{i + 1}|
\end{cases}
]
反射和截断欧拉方案生成的路径在到达边界(v(t) = 0)之前基本相同，但在到达原点后，反射方案生成的路径会高于截断方案生成的路径。需要注意的是，反射方案并不能提高欧拉方案的质量。

2. CIR模型的精确模拟

CIR过程的方差过程(v(t))遵循非中心卡方分布。给定状态(v(s))（(s < t)），时间(t)的分布为：
[
v(t)|v(s) \sim \bar{c}(t, s) \cdot \chi^2(\delta, \bar{\kappa}(t, s))
]
其中：
[
\bar{c}(t, s) = \frac{\gamma^2}{4\kappa}(1 - e^{-\kappa(t - s)