24、金融中的蒙特卡罗模拟方法解析

金融中的蒙特卡罗模拟方法解析

1. 收敛性定义

在金融数学建模与计算中，收敛性是一个重要概念。设 $x_m$ 是 $X(T)$ 的近似值，$\Delta t$ 为时间步长，$m$ 对应时间离散化中的最后一项，$t_i = i \cdot T/m$，$i = 0, \cdots, m$。
- 强收敛 ：若 $\epsilon_s(\Delta t) := E_Q[|x_m - X(T)|] = O(h^{\alpha})$（$\alpha > 0$），则称近似值 $x_m$ 以 $\alpha$ 阶强收敛于 $X(T)$。
- 弱收敛 ：对于足够光滑的函数 $g(\cdot)$，若 $\epsilon_w(\Delta t) := |E_Q[g(x_m)] - E_Q[g(X(T))]| = O(h^{\beta})$（$\beta > 0$），则称近似值 $x_m$ 关于 $g(\cdot)$ 以 $\beta$ 阶弱收敛于 $X(T)$。

简单来说，强收敛意味着资产价格收敛，而弱收敛意味着对于给定时间 $T$，$X(T)$ 的概率分布的近似收敛，且收敛仅涉及 $X(T)$ 的边际分布。

2. 随机欧拉和米尔斯坦方案

2.1 欧拉方案

随机欧拉（或欧拉 - 丸山）方案是计算随机积分的基本数值积分方法。对于随机微分方程 $dX(t) = \overline{\mu}(t, X(t))dt + \overline{\sigma}(t, X(t))dW(t)$，其近似公式为：
$x_{i + 1} \approx x_i