19、金融中的多维性、测度变换与仿射过程

金融中的多维性、测度变换与仿射过程

1. 吉尔萨诺夫定理（Girsanov Theorem）

吉尔萨诺夫定理是金融数学中用于测度变换的重要工具。假设资产 $S(t)$ 满足如下随机微分方程（SDE）：
[dS(t) = \overline{\mu}_M(t, S(t))dt + \overline{\sigma}(t, S(t))dW^M(t), S(t_0) = S_0]
其中，布朗运动 $W^M(t)$ 是在测度 $M$ 下定义的，且 $\overline{\mu}_M(t, S(t))$ 和 $\overline{\sigma}(t, S(t))$ 满足通常的利普希茨条件。

定义新的布朗运动 $W^N(t)$ 为：
[dW^N(t) = -\left(\frac{\overline{\mu}_N(t, S(t)) - \overline{\mu}_M(t, S(t))}{\overline{\sigma}(t, S(t))}\right)dt + dW^M(t)]
则 $W^N(t)$ 是测度 $N$ 下的布朗运动，且在测度 $N$ 下，$S(t)$ 的随机微分方程为：
[dS(t) = \overline{\mu}_N(t, S(t))dt + \overline{\sigma}(t, S(t))dW^N(t), S(t_0) = S_0]
这里要求漂移项 $\overline{\mu}_N(t, S(t))$ 使得 $\frac{\overline{\mu}_N(t, S(t)) - \overline{\mu}_M(t, S(t))}{\overline{\sigma}(t, S(t))}$ 有界。

可以通过