5、金融资产动态与计算中的数学模型

金融资产动态与计算中的数学模型

1. 随机过程的矩匹配

在金融领域的数学建模中，常常会涉及到不同的随机过程。这里考虑两个随机过程：过程 $X(t)$ 具有时间依赖的波动率 $\sigma(t)$，过程 $Y(t)$ 具有常数波动率参数 $\sigma^*$。

1.1 期望与方差计算

• 期望计算 ：
  • 过程 $X(T)$ 的期望为 $E[X(T)] = X_0 + \int_{0}^{T} (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2(t)) dt$。
  • 过程 $Y(T)$ 的期望为 $E[Y(T)] = Y_0 + (\mu - \frac{1}{2}\sigma^{*2}) T$。
• 方差计算 ：
  • 过程 $X(t)$ 的方差为 $Var[X(T)] = \int_{0}^{T} \sigma^2(t)dt$，这一步基于伊藤等距性。
  • 过程 $Y(t)$ 的方差为 $Var[Y(T)] = \sigma^{*2}T$。

1.2 矩匹配

通过使两个过程的方差相等，即 $Var[X(T)] = Var[Y(T)]$，可以得到 $\sigma^ = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sigma^2(t)dt}$。使用这个特定的 $\sigma^ $ 值，当 $X_0 = Y_0$ 时，$X(