53、具有非确定性的概率向量加法系统的快速终止判定

具有非确定性的概率向量加法系统的快速终止判定

1 引言

概率系统在机器学习、网络协议设计、机器人技术、隐私和安全等多个计算领域都有着重要作用。因此，概率系统的验证受到了验证界的广泛关注。在概率验证中，通常会构建一个合适的抽象模型来过度近似系统的实际行为。

过去，验证研究主要集中在有限状态概率模型以及一些特殊的无限状态类，如概率单计数器或下推自动机。然而，随着通用图灵完备概率编程语言的普及，需要使用更复杂的模型来包含多个潜在无界的数值变量。

在经典环境中，向量加法系统与状态（VASS）是用于程序抽象的标准形式之一。直观地说，VASS 是一个有限有向图，每条边都分配了一个固定维度 $d$ 的整数计数器更新向量。配置 $pv$ 由当前状态 $p$ 和当前计数器值向量 $v$ 指定。计算通过沿着图中的边移动并对计数器执行相应的更新来进行。由于 VASS 本身不是图灵完备的，它们有许多可判定的属性，并已成功用于程序的终止和复杂性分析，以及并行程序和参数化系统的推理。

将这种抽象应用于概率程序会产生概率 VASS（pVASS），它允许在某些状态下进行概率性的转换选择。此外，在抽象过程中，某些复杂的编程结构（如 if - then - else 分支）会被替换为非确定性选择。为确保抽象过度近似可能的行为，通常将非确定性解释为恶魔式的，即选择由对抗性环境解决。但在某些情况下，考虑天使式非确定性也是有意义的，它将由待设计的控制器解决。

程序分析中的一个基本问题是评估给定程序的运行时间。在经典环境中，这个问题有多种形式，从实时系统中的最坏情况执行时间分析到执行步骤数的界限分析、渐近或摊销复杂性分析。基于 VASS 的抽象在后者的场景中取得了成功。